在贝尔曼方程中，逗号和加号有什么区别？

贝尔曼方程：

$V(x) = max \{F(x,y)+ \beta V(y)\}$

$V(x) = max \{F(x,y), \beta V(y)\}$

何时使用加号和何时使用逗号？

你介意给我一个例子来解释这种差异吗？

非常感谢你！

bellman-equations

— XJ.C
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这两个表达具有完全不同的含义。你在哪里看到“逗号”的表达方式？

— Alecos Papadopoulos 2016年

讲义。这是链接goo.gl/aTDLpH 。在第4页的顶部。@ AlecosPapadopoulos

— XJ.C 2016年

$\max$ $y$ $y$ $y$

如果我从符号错误中抽象出来，我想你想要一个例子来理解经典的蛋糕吃问题（你的第一个等式）和停止规则问题（可能是你的第二个等式）之间的区别。

考虑以下框架。时间是离散的。经济中有一个好处。我们对消费者的问题感兴趣。在每个时期，消费者可以访问好的库存。她面临着标准的跨时间挽救问题; 她必须决定消费多少，以及为下一个时期保存多少，。消费者享受流量效用并使用因子未来消费进行折扣。要关闭模型，必须定义保存技术。我们可以考虑两种不同的情况： $t$ $x_t$ $c_t$ $x_{t+1}$ $u(c_t)$ $\beta$

（i）有利率。消费者可以从储蓄账户中自由提取任何金额。（ii）有利率。但是，如果不关闭储蓄账户，消费者就无法提取一定数量的商品。 $r$ $r$

让我们在两种情况下编写优化问题：

（i）

V (x_{t}) = max_{0 \leq x_{t + 1} \leq (1 + r) x_{t}} {u ((1 + r) x_{t} - x_{t + 1}) + β V (x_{t + 1})}

$V(x_t)=\underset{0\leq x_{t+1}\leq (1+r)x_t}{\max} \{u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})\}$

（ii）消耗等于。我们可以对你写的内容进行类比。我的和是你的和，而。在第一种情况下，消费者必须在区间选择保存的量。在第二种情况下，她只能选择是继续保存，，还是关闭帐户，。通过归一化

V (x_{t}) = max_{x_{t + 1} = (1 + r) x_{t} or 0} {u ((1 + r) x_{t} - x_{t + 1}) + β V (x_{t + 1})}

$V(x_t)=\underset{x_{t+1}= (1+r)x_t \text{ or } 0}{\max} \{u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})\}$

c_{t}

$c_t$

(1 + r) x_{t} - x_{t + 1}

$(1+r)x_t-x_{t+1}$

x_{t}

$x_t$

x_{t + 1}

$x_{t+1}$

x

$x$

y

$y$

F (x, y) = u ((1 + r) x - y)

$F(x,y)=u((1+r)x-y)$

x_{t + 1}

$x_{t+1}$

(0, (1 + r) x_{t})

$(0,(1+r)x_t)$

x_{t + 1} = (1 + r) x_{t}

$x_{t+1}=(1+r)x_t$

x_{t + 1} = 0

$x_{t+1}=0$

u (0) = 0

$u(0)=0$ ，第二种情况可以写：

（ii）

V （ X_{Ť} ） = 最大 {ü （ （ 1 + [R ） X_{Ť} ） ， β V （ （ 1 + [R ） X_{Ť} ）}

$V(x_t)=\max \{u((1+r)x_t),\beta V((1+r)x_t)\}$

在第一个问题中，消费者吃了蛋糕的一部分（以的速度扩张），并保留下一个时期的剩余部分，以最大化她的跨时效用。在第二个问题中，消费者必须决定何时完全吃（生长）蛋糕，这定义了停止规则。 $r$

— GuiWil
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