当响应变量为时预测

我的估计模型是

当和时，我被要求以的平均值找到95％置信度的预测CI 。我们假设，其中。$y_0$$x_{02}=250$$x_{03}=8$$s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$$x_0=(250,8)$

我有上一年的解决方案，如下所示：

我发现 ，其中是分布的位数，而 。这给了我。$\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$$t$$\alpha/2$$t(n-k)$$s_E=\sqrt{0.000243952}$$[7.1563,7.2175]$

然后作者执行 。$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$

我不同意最后一步（由于詹森的不平等，我们将低估了这一点）。在Wooldridge的《计量经济学概论》（第212页）中，他指出，如果我们确定误差项是正常的，则一致的估计量为：

所以，我在想做

它是否正确？

另外，此练习的解决方案指出，这与我得到的任何一种解决方案都相去甚远。$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$

任何帮助，将不胜感激。

PS：我也读到，校正不应该用于CI，而只能用于点估计$\hat E[y_0|x_0]$

由于我怀疑是印刷错误，您找不到相同的答案，因此这可能是您遇到问题的主要原因：将设置为而不是。如果保持，则另一种可能性是第二个估计系数的错误，例如而不是。$x_{03}$$80$$8$$x_{03}=8$$\hat{\beta}_2 = -0.1$$-0.01$

无论如何，这些修改之一解决了所有问题，并产生了与本练习解决方案相同的结果。

考虑到这一变化，当，$t_{\alpha/2}=1.96476138969835$

方法1

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$ （此练习的给定解决方案）

要么

方法2

然而

该方法2是不太可能是正确的，因为当你在你的问题提[...]的（低估）校正不应使用于CI但只适用于点估计。

为什么呢 我要说的是，由于两个术语之间存在依赖性，一方面知道的期望，另一方面知道的期望并不意味着一个人知道。$e^{s^2/2}$$\hat{y_0}$$e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$

点预测和CI不同。

对于点预测，最好通过尽可能地校正偏差来实现。对于CI，从一开始就要求概率等于。例如，当是的95％CI时，当然是的95％CI，因为。因此，您的当然是有效的配置项。$100(1-\alpha)\%$$[a,b]$$\ln(y_0)$$[e^a,e^b]$$y_0$$P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$$[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$

但是，由于詹森不等式，此CI的中心既不是幼稚的预测变量（ exp [预测变量]），也不是的校正预测因子（校正因子乘以幼稚预测变量），但这并不重要。在某些情况下（并非总是如此），对于某些和，您可以将CI更改为，以使概率仍为95％，其中心为偏差-更正了预测变量，但我看不出要点。$\ln y_0$$y_0$$[e^{a-p}, e^{b-q}]$$p$$q$

您所建议的，即不是95％CI。要知道为什么，让校正因子为（为简单起见，是非随机且众所周知的），因此偏差校正后的预测变量为，其中是（的无偏预测变量。）。例如，可以通过来估计“ ” ，但是尽管后者是随机的，但为了简化起见，假设是非随机的。令为的95％CI ，即$[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$$h$$he^{\theta}$$\theta$$\ln y_0$$\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$$h$$e^{s^2/2}$$h$$[a,b]$$\ln y_0$$P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$。然后， 这是不等于除非的分布是均匀的，通常不是。

编辑

以上是关于的CI ，而不是关于的CI 。最初的问题是关于的CI 。令，由估算。在那种情况下，我认为Delta方法是一个有用的选项（请参阅luchonacho的答案）。$y_0$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$$\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$

为严格起见，我们需要和的联合分布，或者精确地说，向量。然后的极限分布是使用三角方法导出，然后CI对可以被构造。$\hat{h}$$\hat\beta$$\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$$\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$$h\exp(x_0\beta)$

使用Delta方法。假设单个参数的大样本渐近分布为：$\beta$

（假设您的估计是一致的）

此外，您对的功能感兴趣，例如。然后，上面的一阶泰勒逼近导致以下渐近分布：$\hat{\beta}$$F(\hat{\beta})$

在您的情况下，是。从这里，您可以正常构造CI。$F(\hat{\beta})$$e^\hat{\beta}$

链接文档中的来源和更多详细信息。