条件独立，没有相关性

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我有一个关于基本计量经济学的问题。考虑一下模型 $$ y_i = \ alpha + \ beta x_i + u_i $$

我理解线性回归模型的假设4表明

$$ [1] \ quad E（u | x）= 0 $$

但是，我经常看到这种情况写成：

$$ [2] \ quad E（ux）= 0 $$

这两件事情是否相同？我看到如果[1]和$ E（u）= 0 $那么我们得到[2];但是我不明白为什么[2]会暗示[1]。

econometrics statistics regression

— Doon_Bogan
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注意[1]暗示[2]， 即使没有条件$ E（u）= 0 $ 。实际上这种情况是由[1]暗示的。将迭代期望定律应用于[1]的LHS，得到$ E_x [E_u（u \ vert x）] = E（u）$。但由于$ E_u（u \ vert x）= 0 $ by [1]，我们有$ E_x [E_u（u \ vert x）] = E_u（u）= E_x（0）= 0 $

— Herr K.

我相信这是属于它的主题交叉验证。

— Richard Hardy

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[2]并不暗示[1]。 [2]和$ E（u）= 0 $暗示$ cov（u，x）= 0 $，即约 线性独立 。 [1]更强，因为它指的是任何类型的依赖。

在对称域上显示这个的经典反例是$ x = u ^ 2 $。这些依赖但线性独立。

下面的R代码显示了这个：

set.seed(1)
u <- runif(100, min = -1, max = 1)
e <- rnorm(100, mean = 0, sd = 0.1)
x <- u^2 + e

plot(u,x)
abline(lm(x ~ u)) # Yields an R^2 of 0.006539

cov(u,x) # Yields 0.01206663

该图是黑线代表回归线的地方：

阅读更多相关信息这里。

— luchonacho
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[1]强于[2]。通过应用总概率期望定律和条件期望的性质，我们得到：$$ E（ux）= E（E（ux | x））= E（xE（u | x））$$ 因此[1]暗示[2]，但[2]并不一定意味着[1]

— RickXMan
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