考虑以下DGP时:$ y = X \ beta ^ {*} + \ epsilon $其中$ \ beta ^ {*} $是$ \ tilde k \ times1 \ $ vector。
定义投影矩阵:$ P_ {X} = X(X ^ {T} X)^ { - 1} X ^ {T} $和$ M_ {X} = IX(X ^ {T} X)^ { - 1} $。
第一个问题是证明$ X ^ {T} P_ {X} = X ^ {T} $和$ X ^ {T} M_ {X} = 0 $
我认为这个问题太简单了,因为P只是我。所以,我认为考虑到第二个问题,有一个给定问题的意图。
第二个问题是证明如果$ X _ {(i)} $是$ X $的$ i ^ {th} $列,那么,$ M _X} X _ {(i)} = 0 $
我的问题是
第一个问题有什么意义?
我可以通过考虑$ X _ {(i)} = XA \ $来解决这些问题,其中A有一个仅包含1的向量而其他列都是零吗?或者我应该利用第一个问题的解决方案?