如何利用计量经济学中的投影矩阵?


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考虑以下DGP时:$ y = X \ beta ^ {*} + \ epsilon $其中$ \ beta ^ {*} $是$ \ tilde k \ times1 \ $ vector。

定义投影矩阵:$ P_ {X} = X(X ^ {T} X)^ { - 1} X ^ {T} $和$ M_ {X} = IX(X ^ {T} X)^ { - 1} $。

第一个问题是证明$ X ^ {T} P_ {X} = X ^ {T} $和$ X ^ {T} M_ {X} = 0 $

我认为这个问题太简单了,因为P只是我。所以,我认为考虑到第二个问题,有一个给定问题的意图。

第二个问题是证明如果$ X _ {(i)} $是$ X $的$ i ^ {th} $列,那么,$ M _X} X _ {(i)} = 0 $

我的问题是

  1. 第一个问题有什么意义?

  2. 我可以通过考虑$ X _ {(i)} = XA \ $来解决这些问题,其中A有一个仅包含1的向量而其他列都是零吗?或者我应该利用第一个问题的解决方案?


请分别发布单独的问题。
denesp

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通过简单地插入投影矩阵的表达式,确实立即证明了“第一个问题”。对于第二个问题,请使用$ M_X $是对称的这一事实。
Alecos Papadopoulos

Answers:


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计量经济学中的这种预测通常用于从线性回归中偏离一些协变量。

通常观察到$ P_X \ neq I $。考虑$ X = \ begin {bmatrix} 1& 5 \\ 1& 0 \\ 1& 1 \ end {bmatrix} $。然后$ X'X = \ begin {bmatrix} 3& 6 \\ 6& 26 \ end {bmatrix} $和$(X'X)^ { - 1} = \ begin {bmatrix} 26/42& -6 / 42 \\ - 6/42& 3/42 \ end {bmatrix} $ then $ X(X'X)^ { - 1} X ^ T = \ frac {1} {42} \ begin {bmatrix} 41& - 4& 5 \\ - 4& 26& 20 \\ 5& 20& 17 \ end {bmatrix} \ neq I $。

第一个问题:$ X ^ TP_X = X ^ TX(X'X)^ { - 1} X ^ T =(X ^ TX)(X'X)^ { - 1} X ^ T = I _ {(\ tilde k \ times \ tilde k)} X ^ T = X ^ T $

类似地:$ X ^ TM_X = X ^ T [I _ {(\ tilde k \ times \ tilde k)} - P_X] = X ^ TI _ {(\ tilde k \ times \ tilde k)} - X ^ TP_X = X ^ TX ^ T = 0 $

第二个问题是$ X ^ TM_X = 0 $的直接后果,因为您只考虑一个单独的列,因此现在可以对$ X _ {(i)} $进行后乘。 $ X _ {(i)} = XA $的方法,其中$ A $是一个向量$ \ tilde k \乘以1 $ 0除了$ i $ -th元素是1.那么它应该是直截了当的看:$ 0 =(XA)^ TM_X = M_XX _ {(i)} $


我从未想过那种解决方法。使用这样的矩阵对我来说非常困惑。非常感谢!
Jeffrey
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