如何利用计量经济学中的投影矩阵？

考虑以下DGP时：$ y = X \ beta ^ {*} + \ epsilon $其中$ \ beta ^ {*} $是$ \ tilde k \ times1 \ $ vector。

定义投影矩阵：$ P_ {X} = X（X ^ {T} X）^ { - 1} X ^ {T} $和$ M_ {X} = IX（X ^ {T} X）^ { - 1} $。

第一个问题是证明$ X ^ {T} P_ {X} = X ^ {T} $和$ X ^ {T} M_ {X} = 0 $

我认为这个问题太简单了，因为P只是我。所以，我认为考虑到第二个问题，有一个给定问题的意图。

第二个问题是证明如果$ X _ {（i）} $是$ X $的$ i ^ {th} $列，那么，$ M _X} X _ {（i）} = 0 $

我的问题是

1. 第一个问题有什么意义？

2. 我可以通过考虑$ X _ {（i）} = XA \ $来解决这些问题，其中A有一个仅包含1的向量而其他列都是零吗？或者我应该利用第一个问题的解决方案？

计量经济学中的这种预测通常用于从线性回归中偏离一些协变量。

通常观察到$ P_X \ neq I $。考虑$ X = \ begin {bmatrix} 1＆amp; 5 \\ 1＆amp; 0 \\ 1＆amp; 1 \ end {bmatrix} $。然后$ X'X = \ begin {bmatrix} 3＆amp; 6 \\ 6＆amp; 26 \ end {bmatrix} $和$（X'X）^ { - 1} = \ begin {bmatrix} 26/42＆amp; -6 / 42 \\ - 6/42＆amp; 3/42 \ end {bmatrix} $ then $ X（X'X）^ { - 1} X ^ T = \ frac {1} {42} \ begin {bmatrix} 41＆amp; - 4＆amp; 5 \\ - 4＆amp; 26＆amp; 20 \\ 5＆amp; 20＆amp; 17 \ end {bmatrix} \ neq I $。

第一个问题：$ X ^ TP_X = X ^ TX（X'X）^ { - 1} X ^ T =（X ^ TX）（X'X）^ { - 1} X ^ T = I _ {（\ tilde k \ times \ tilde k）} X ^ T = X ^ T $

类似地：$ X ^ TM_X = X ^ T [I _ {（\ tilde k \ times \ tilde k）} - P_X] = X ^ TI _ {（\ tilde k \ times \ tilde k）} - X ^ TP_X = X ^ TX ^ T = 0 $

第二个问题是$ X ^ TM_X = 0 $的直接后果，因为您只考虑一个单独的列，因此现在可以对$ X _ {（i）} $进行后乘。 $ X _ {（i）} = XA $的方法，其中$ A $是一个向量$ \ tilde k \乘以1 $ 0除了$ i $ -th元素是1.那么它应该是直截了当的看：$ 0 =（XA）^ TM_X = M_XX _ {（i）} $