垄断只是数学上的误解

有点头疼（也是一个很好的例子，为什么我们应该小心使用符号）。

考虑一个利润最大化的垄断，它解决了价格过高的问题

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

遵循常规步骤（请参阅这篇文章）

我们得出的重要结果是，在利润最大化的价格上，需求的价格弹性绝对值应大于，或代数条件下应小于。即以我们的利润最大化价格$1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

但是是的导数，而，即总收入。因此，，边际收入，我们得到的是，在利润最大化的价格上，并且为了使弹性绝对值大于，我们必须具有。$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$$PQ(P)$$PQ(P) = TR$$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$$1$$MR^* <0$

但是，我们现在还可以在利润最大化点获得。$MR^*=MC^*>0$

因此不存在解决方案，因此我们得出结论，垄断只是数学上的误解。

现在，我遇到了麻烦（？）来写这个假笑的帖子，我希望有人花几十秒钟来写一个清晰的答案，指出窍门在哪里。

$PQ(P)=TR$，总收入。

$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$是相对于的导数。$PQ(P)$ $P$

$MR$（边际收入）是相对于的派生。$TR$ $Q$

因此，通常$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

为了补充@AdamBailey的直截了当的答案，本文的目的是提醒感兴趣的读者注意改变思维中的决策变量的后果。

我们习惯将需求视为“价格取决于数量”或“数量取决于价格”。但是在生产成本方面，我们自动倾向于根据数量而不是售价来考虑成本。

因此，即使是用记号表示的单调乏味的代码也会带来回报（请向家伙咨询动态优化，例如Caputo的书）。在特定示例中，符号，，不显示决策变量，而这正是诡计的基础。但是如果我们写$TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

我们会明确表示，我们的最终决策变量是价格，因此

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

同时我们也会清楚地看到

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

因此对需求价格弹性的需求导致

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

（因为以来）。因此，在最佳点，相对于数量的边际收益应为正，而相对于价格的边际收益应为负。$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$