比较静态问题与应用程序

在Mexas州，两名政治家（BO先生，或“政治家1”和TC先生，或“政治家2”）正在争夺参议院席位。这两位政治家花在广告上以增加支持者的数量。一位政治顾问发现BO先生的最佳广告支出取决于TC先生的支出和影响BO先生在Mexas中受欢迎程度的“可爱性”参数： 其中是两次连续可微分，和$S_{1}$$S_{2}$$\alpha$

$$\text{Equation 1: }S_{1} = f\left ( S_{2}, \alpha \right ),$$ $f:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$$0<\frac{\partial f\left ( S_{2}, \alpha \right )}{\partial S}<1$$0<\frac{\partial f\left ( S_{2}, \alpha \right )}{\partial \alpha}<1$小号2≥0α≥0对于所有和所有。$S_{2} \geq 0$$\alpha \geq 0$

政治家2的最佳支出取决于政治家1 的支出和“红色”参数，这会影响有多少人坚持TC先生： 其中连续两次可微分，和表示所有和所有。$S_{1}$$\beta$

$$\text{Equation 2: }S_{2} = g\left ( S_{1}, \beta \right ),$$ $g:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$$0<\frac{\partial g\left ( S_{1}, \alpha \right )}{\partial S}<1$$0<\frac{\partial g\left ( S_{1}, \alpha \right )}{\partial \alpha}<1$$S_{1} \geq 0$$\beta \geq 0$

和的平衡值由联立方程（1）和（2）的解给出。假设存在唯一解和。$S_{1}$$S_{2}$$S_{1}^{*}>0$$S_{2}^{*}>0$

（保持常数）的增加是否必然增加或必然减少？说明。$\alpha$$\beta$$S_{1}^{*}$

我的尝试：在这里我使用了隐式函数定理来回答这个问题，因为我们基本上在寻找的比较静态。$\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }$

由于从等式2，，我在等式中代入以获得然后，因为 我可以应用隐式函数定理（IFT）导出。$S_{2}^{*} = g\left ( S_{1}^{*}, \beta \right )$$S_{2}^{*}$

$$S_{1}^{*} = f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \right ), \alpha \right ).$$ $$S_{1}^{*} - f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \right ), \alpha \right ) = 0 \equiv F,$$ $\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }$

所以

$$\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha } = - \frac{\frac{\partial F}{\partial \alpha}}{\frac{\partial F}{\partial S_{1}}} = - \frac{\frac{\partial f\left ( \right )}{\partial \alpha}}{1 - \frac{\partial f \left ( \right )}{\partial g} \frac{\partial g \left ( \right )}{\partial S_{1}^{*}}} \frac{>}{<} 0.$$

由于我们不知道导数的符号，效果上是不明确的。$\frac{\partial f \left ( \right )}{\partial g}$$\alpha$$S^{*}_{1}$

我的回答有意义吗？

根据假设，您可以获得的明确答案。

$$\text{sign}\left\{\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }\right\}$$

从

$$S_{1}^{*} - f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \right ), \alpha \right ) = 0 \equiv F$$

和隐函数定理

$$\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha } = - \frac{\partial F/\partial \alpha}{\partial F/\partial S^*_{1}}$$

我们有

$$\frac{\partial F}{\partial \alpha} = -\frac{\partial f}{\partial \alpha}$$

和

$$\frac{\partial F}{\partial S^*_{1}} = 1-\frac{\partial f}{\partial S_2}\cdot \frac{\partial g}{\partial S^*_{1}}$$

对于这些表达，我们不仅知道符号，还知道大小。结果如下。