计量经济模型的简化形式，识别问题和检验

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寻找一些帮助来理解以下问题以及如何在计量经济学中使用简化形式

考虑一个针对个人的模型：

h e a l t h = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + (b_{6}) e x e r c i s e + u

$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$

假设方程中除运动外的所有变量均与u不相关。

A）写下简化的运动形式，并陈述确定方程式参数的条件。

B）如何测试c部分中的识别假设？

假设是否正确：

e x e r c i s e = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + u

$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$ 为简化形式？

只是简单地识别参数的条件

$E(exercise|u)=0$

我该如何测试？但是，这又有什么用呢？

econometrics

— 克莱门特·科利特（Clemente Cortile）
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3

这是关于单方程线性模型的工具变量的非常标准的问题。给定您问题的原语，唯一的内生变量是exercise。为了回答这个特定问题，您需要一个满足两个条件的外生变量z：

cov（z，u）= 0。
内生变量和您建议的此外生变量之间必须存在某种关系，但它不是真正的假定模型（结构模型）的一部分。换句话说，，，并且与您所有的解释变量（运动除外）和 z 正交。 $e x e r c i s e = β_{0} + β_{1} a g e + β_{2} w e i g h t + β_{3} h e i g h t + β_{4} m a l e + β_{5} w o r k + ϕ z + ε_{e x e r c i s e}$ $exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$ $\phi\ne 0$ $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

在继续之前，先说一句话。按照结构模型，我的意思是，按照Wooldridge和Goldberger的约定，假定模型。也就是说，该模型说明健康状况与您的协变量之间的因果关系。这是一个关键区别，并且与以前的答案不同。

现在，回到眼前的问题，条件2在联方程中被称为简化形式方程，它只是内生到所有外生变量（包括z）的线性投影。

现在，将简化后的表单插入到假定的模型中，您将获得

h e a l t h = α_{0} + α_{1} a g e + α_{2} w e i g h t + α_{3} h e i g h t + α_{4} m a l e + α_{5} w o r k + δ z + ν

$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$ 其中，和。根据线性投影的定义，与所有解释变量都不相关，因此最后一个等式的OLS将为和产生一致的估计，而不是真实模型中的基础。

α_{i} = b_{i} + b_{6} β_{i}, \forall i \in {1, \dots, 5}

$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$

δ = b_{6} ϕ

$\delta=b_6\phi$

ν = u + b_{6} ε_{e x e r c i s e}

$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$

ν

$\nu$

α_{i}

$\alpha_i$

δ

$\delta$

b_{i}

$b_i$

识别需要一些矩阵形式的操作，但本质上它会降低到所谓的秩条件。定义和以使您的结构模型为。现在定义。通过条件1（cov（z，u）= 0使得E（z，u）= 0），如果将结构模型的bot边乘以并期望您有等级条件指出 $\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$ $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

E (z u) = 0

$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$

z

$\mathbf{z}$

E (z x^{'}) b = E (z y)

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

E (z x^{'})

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$ 是完整的列排名。在此特定示例中，在z上给定条件的情况下，它等效于因此，我们在6个未知数中有6个方程，因此存在唯一系统的解决方案，即被识别并等于，根据需要。

r a n k (E (z x^{'}) = 6

$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$

b

$\mathbf{b}$

[E (z x^{'})]^{- 1} E (z y)

$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

备注：条件1对于获得弯矩条件很有用，但是带的简化形式模型对于秩条件至关重要。两种情况都是正常的。 $\phi$

在这一点上，很清楚我们为什么需要这个。一方面，如果没有z，则真实模型的OLS估计量不仅会为产生估计而且为所有产生不一致的估计值。另一方面（有些相关），我们的参数是唯一标识的，因此可以确定我们正在估计真实模型中所述的真实因果关系。 $b_6$ $b_i$

关于测试，可以直接测试条件2（z和运动是部分相关的），并且您应始终报告与先前答案中的评论相反的步骤。与这一步骤相关的文献很多，特别是弱仪器文献。

但是，不能直接测试第二个条件。有时，您可能会援引经济理论来证明或提供支持使用z的替代假设。

— 毛奥利瓦尔人
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3

如前所述，这个问题对我来说意义不大。如果问题表明运动是内生的（与错误项相关），则您不能在解决方案中采取相反的做法。另外，通常在IV评估的背景下谈论简化形式与结构形式。如果运动是内生的，则需要一种工具（可以预测运动但不会影响健康的变量）来获得因果关系。例如，如果您样本中的某些人随机赢得了健身房会员优惠券，那可能是有效的工具。

识别假设将是

优惠券确实可以预测运动
优惠券是正交 $u$

所谓的结构形式是两个方程式，一个是您的原始模型，另一个是在优惠券上行使的回归以及其他来自原始模型的解释变量（第一阶段）。简化形式是当您将第一阶段替换为主方程式时，因此您可以根据年龄，体重，...，工作和优惠券（但不是运动，因为已经被替代）来降低健康水平。简化形式有时用于解释IV估计的属性，但AFAIK在实践中很少使用。

— 伊万斯姆
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