为什么

假设我有两个商品和y及其相关价格p x和p y。收入m。x H是希克斯需求和x $x$$y$$p_x$$p_y$$m$$x^H$$x^M$是马歇尔需求。

Slutsky方程：

$$\frac{\partial x^M}{\partial p_x} = \frac{\partial x^H}{\partial p_x} -\frac{\partial x^M}{\partial m} x^M$$

弹性版本：

$$\varepsilon_{x,p_x}^M = \varepsilon_{x,p_x}^H - \eta_x s_x$$

$$s_x = \frac{p_x x}{m}$$

我的教授声称，但即使当被问及没有给出证明。我的技术援助也不能提供。

$$\varepsilon_{x,p_x}^H =-s_y \sigma$$

是替代弹性$\sigma$

我的问题：

可有人告诉为什么？$\varepsilon_{x,p_x}^H =-s_y \sigma$

首先，我们需要定义替代弹性。这可能是一个困难和令人困惑的概念。（如果你想让自己大开眼界，请看斯特恩在本次调查中的表2$\sigma$，请参阅，其中将不少于10个替代弹性概念分类！）。

也就是说，你的教授提到的公式只有在有两种商品时才是真的，所以我假设我们将自己限制在两个好的情况下 - 在那里，定义替代的弹性是（最多的）部分）明确无误。我首先要将其定义为（减）的边际效用的比的倒数弹性和ÿ到它们的量的比例，保持恒定效用的整体水平在一些ú： σ ＆equiv; $x$$y$$u$ 这测量x之间无差异曲线的曲率

$$\sigma\equiv - \left.\left(\frac{\partial \log(U_x/U_y)}{\log(x/y)}\right)^{-1}\,\right|_{U=u}$$ $x$和：σ越高（即x和y越可替代）$y$$\sigma$$x$$y$），无差异曲线越接近直线。

现在，希克斯式的需求使得支出最小化，而不是无差异曲线。这涉及设置边际效用的比率等于价格的比率： 因此我们可以将σ重新解释为（减去）希克斯相对于相对价格的相对弹性：

$$U_x(x^H,y^H)/U_y(x^H,y^H)=p_x/p_y$$ $\sigma$ 因为分母只有相对价格px/py，所以它不取决于我们如何改变这个相对价格（例如，通过提高px而不是降低py）。让我们假设，我们只是提高pX，然后用你的ε符号的弹性为了简单： σ=-∂日志（X^ h（p，ü）/ÿ^ h $$\sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x/p_y)}\tag{1}$$ $p_x/p_y$$p_x$$p_y$$p_x$$\varepsilon$ 在这一点上，我们带来了希克斯需求一个简单的身份，即商品的弹性相对于一些价格，通过加权总和的股，是零（包括下面证明）： 小号Xε ħ X ，p X +小号ýε ħ ÿ ，p X =0 由于小号X=1- $$\sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x)}=\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x}\tag{2}$$ $$s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3}$$ ，我们可以重写（3）如 （1 - 小号Ý）ε ħ X ，p X + 小号ý ε ħ ÿ ，p X = 小号Ý ⋅ （ε ħ Ý ，p X - ε ħ X ，p X）+ ε ħ X ，p X = 0 但是，在括号中的项（4）是取代的只是弹性$s_x=1-s_y$ $$(1-s_y)\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=s_y\cdot(\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x})+\varepsilon^H_{x,p_x}=0\tag{4}$$ $\sigma$，正如我们在（2）中所示。重新整理，我们已经证明了自己的教授的说法 为所需。 $$\varepsilon^H_{x,p_x}=-s_y\sigma$$

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$x$$p_x$$1+\varepsilon^M_{x,p_x}$$y$$p_x$$\varepsilon^M_{y,p_x}$

$$s_x(1+\varepsilon^M_{x,p_x})+s_y\varepsilon^M_{y,p_x}=0$$ $$s_x + s_x(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_xs_x)+s_y(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_ys_x)=0$$ $\eta_xs_x+\eta_ys_y=1$$-s_x$$s_x$ $$s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3}$$ 作为希望的。这是衡量希克斯需求的一个非常重要的身份：它说当我们改变价格时，首先以旧价格订购希克斯需求的成本 保持不变（这与它的“补偿”需求有关：在本地，它会以旧价格成本相同）。