如何获得替代弹性？

对于两种商品和ÿ，替代弹性被定义为σ ＆equiv; d 日志（$x$$y$

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$$

我对两件事感到困惑：

1. 为什么我们只写？我们有什么区别？$d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
2. 我该如何使用它来显示上述关系？

有人可以解释吗？

如何获得替代弹性

$f: \Bbb R^n \to \Bbb R$$f(x_1,\cdots,x_n)$

$${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$$

$$d\log v = \frac{1}{v}dv$$

$v = \tfrac{y}{x}$

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$$

$v = \tfrac{U_x}{U_y}$

$$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$$

换句话说，如果将问题简化为（1）了解微分的定义，并且（2）使用变量的简单更改，则问题将变得非常简单。

然后你得到

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$$

在旁边：

$d(y/x)$

$$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$$

这是有道理的，因为

$$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

如果你计算

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

$d(U_x/U_y)$

$\sigma$

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什么是替代弹性？

$MRS$