OLS需求估计中的偏差：偏差总是低估了需求的弹性吗？

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一些论文认为，取决于仪器的质量，OLS产生的偏差比IV估计的偏差小。假设我们考虑了需求估算方程。

假设OLS中需求弹性为负。根据我的直觉，弱小的工具应该对OLS产生有偏见的估计，但同样会产生负的估计。你们能举个例子吗？我无法真正把握IV估计如何导致更偏向的估计。

econometrics

— 约翰·杜
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IV是有偏见的，但它是一致的，因此我想您的说法是正确的。但我想这一切都取决于您的目标。预测与推理。

— user157623

您在第一句话中指的是“一些论文”（最好是众所周知的论文，或者是点燃评论的类型）？我有兴趣看着他们。谢谢。

— 金钟恩

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$\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

除非工具与误差项之间存在某种关联，并且提名者是工具与内生变量之间关系的强度，否则这是正确的。分母越小，偏差越大 $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

\begin{array}{rcl} v 一种 [R （ \hat{β_{1}} ） & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{ñ σ_{X}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{一世 V}} & = & \frac{Σ （ ž_{一世} - \bar{ž} ） ÿ_{一世}}{Σ （ ž_{一世} - \bar{ž} ） X_{一世}} = β_{1} + \frac{Σ （ ž_{一世} - \bar{ž} ） ü_{一世}}{Σ （ ž_{一世} - \bar{ž} ） X_{一世}} \\ v 一种 [R （ \hat{β_{1}^{一世 V}} & = & v 一种 [R （ \frac{Σ （ ž_{一世} - \bar{ž} ） ü_{一世}}{Σ （ ž_{一世} - \bar{ž} ） X_{一世}} ） \\ v 一种 [R （ ü | ž ） & = & σ^{2} \\ v 一种 [R （ \hat{β_{1}^{一世 V}} ） & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{ñ} Σ （ ž_{一世} - \bar{ž} ）}{ñ [\frac{1}{ñ} Σ （ ž_{一世} - \bar{ž} ） （ X_{一世} - \bar{X} ）]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

$n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v 一种 [R （ \hat{β_{1}^{一世 V}} ） & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{ž}^{2}}{σ_{ž X}^{2}} \\ v 一种 [R （ \hat{β_{1}^{一世 V}} ） & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{ñ σ_{X}^{2}} \frac{1}{ρ_{X ž}^{2}} \\ ρ_{X ž}^{2} & = & \frac{[σ_{X ž}^{2}]^{2}}{σ_{X}^{2} σ_{ž}^{2}} 对于 ρ \in [0 ， 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

这就是为什么如果您的工具较弱，那么运行OLS回归可能会更好。

— 氮氧化物
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在IV估算器的第一个方差的方程式中，我确实认为无偏的beta 1的方差缺失了-对吗？您只需将方差分配给与IV估计量的偏差相关的部分。如果我错了，请向我解释我所缺少的。

— 约翰·多伊

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

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$\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$ 很小，那么偏差就可以很大。请参见第444页上方程（7）的Bound，Jaeger和Baker（1995，JASA）的说明。

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

$x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

没有工具内生性，我认为IV估计量的偏差（极限分布的偏差可能没有概率极限）不会大于OLS的不一致。

$n$

— chan1142
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