动态优化：如果二阶条件不成立怎么办？

考虑以下动态优化问题

\begin{aligned} \underset{ü}{最大值} \int_{0}^{Ť} F （ X ， ü ） d Ť \\ ST & \dot{X} = F （ X ， ü ） \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

方便旗

哈密顿量由最优性的必要条件由最大值给出原理

\begin{aligned} H （ X ， ü ， λ ） = F （ X ， ü ） + λ F （ X ， ü ） \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial ü} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial X} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

假设是一个最大化器，即。 $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ $H_{uu} < 0$

SOC

箭头充分定理指出，如果最大化的哈密顿量是凹入的，则必要条件就足够了。，即如果。

\begin{aligned} H^{0} （ X ， λ ） = \underset{ü}{最大值} H （ X ， ü ， λ ） \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$

x

$x$

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$

问题

假设FOC成立，但SOC失败。

可以说解决方案的最优性是什么？

optimization

— 无知
source

凸凹并非没有凹凹。

— Michael Greinecker 2015年

我删除了错误的部分，希望您不要介意。答案是：不要太多，尝试其他方法（例如，另一个满足条件，或者，如果您认为它是凸的，则表明它是凸的）。

— 全能的鲍勃·鲍勃（

没有一个答案，这取决于每个问题的细节。让我们看一个标准的例子。

考虑Ramsey模型的基准跨期优化问题

\begin{aligned} \underset{ü}{最大值} \int_{0}^{\infty} Ë^{- ρ Ť} ü （ C ） d Ť \\ ST \dot{ķ} = 一世 - δ ķ \\ ST ÿ = F （ ķ ） = C + 一世 \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

哈密顿量的当前值为

\overset{〜}{H} = ü （ C ） + λ [F （ ķ ） - C - δ ķ]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

在最大化独自我们 $c$

\frac{\partial \overset{〜}{H}}{\partial C} = ü^{'} （ C ） - λ = 0 ⟹ ü^{'} （ C^{*} ） = λ ⟹ C^{*} = （ ü^{'} ）^{- 1个} （ λ ）

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

如果效用函数为凹面，则二阶条件成立，

\frac{\partial^{2} H}{\partial C^{2}} = ü^{''} （ C^{*} ） < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

此外，从关于消费的一阶条件来看，如果保持局部不满足，则。假设我们确实有这种“通常”的偏好。 $\lambda >0$

最大化的过度消费哈密顿量为

{\overset{〜}{H}}^{0} = ü [（ ü^{'} ）^{- 1个} （ λ ）] + λ [F （ ķ ） - （ ü^{'} ）^{- 1个} （ λ ） - δ ķ]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

关于状态变量的偏导为 $k$

\frac{\partial {\overset{〜}{H}}^{0}}{\partial ķ} = λ [F^{'} （ ķ ） - δ] ， \frac{\partial^{2} {\overset{〜}{H}}^{0}}{\partial ķ^{2}} = λ F^{''} （ ķ ）

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

因此，在这里，Arrow-Kurz充分性条件归结为资本的边际产品是减少，不变还是增加（这将取决于生产函数的二阶导数的符号）。在标准情况下，我们有充分的条件。 $f''(k) < 0$

在最著名的偏差情况下，Romer的模型引发了内生增长文献，而资本的边际乘积是一个正常数。 $AK$ $f''(k) =0$

那么在这种情况下我们能说什么呢？

在这里， Seierstad，A.和Sydsaeter，K.（1977）。最优控制理论中的充分条件。国际经济评论，367-391。提供各种可以帮助我们的结果。

特别是，他们证明了如果哈密顿量在和共同凹，则这是最大的充分条件。哈密尔顿的黑森州是 $c$ $k$

（我们可以忽略折扣期限）

{H Ë}_{H} = [\begin{matrix} ü^{''} （ C ） & 0 \\ 0 & λ F^{''} （ ķ ） \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

在的标准情况下这是一个负定矩阵，因此哈密顿量在和共同严格地凹入。 $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

当，使用定义直接检查矩阵是否为负-半确定的。考虑向量和乘积 $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

ž^{Ť} {H Ë}_{H} ž = ž_{1个}^{2} ü^{''} （ C ） \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

这个弱的不等式拥有，因此Hessian在和共同凹。 $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

因此，在内生增长的模型中，解决方案的确是最大的（当然，要明确定义问题所需的参数约束）。 $AK$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
source

谢谢。但是，我认为我应该澄清我的动机。我知道哈密顿量在不是严格凹的，在也不是共同凹的。这里，因为驱动哈密顿的形状为界。它是小型严格凸函数和任何并且对于大的严格的凹函数和任何。我想知道在这种情况下是否可以对最优性做出一般的陈述。

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— 笨拙的2015年

@clueless这是一个不同（有趣）的问题，因此最好在单独的帖子中提出。

— Alecos Papadopoulos