为什么电感（L）与平方匝数（N²）成比例？

我们从麦克斯韦方程开始

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

我们对芯的平均路径（）内的表面（）进行了两侧的表面积分。$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

我们使用Stroke定理重写左手边。其中与磁通量处于同一方向。$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

（左侧的积分结果为，因为绕组上有不同的导线。）$NI$$N$

这些铁心内部的磁场密度被认为是均匀的。所以，我们可以写

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

其中是核心的平均路径长度。$\ell_c$

我们可以通过使用铁心横截面积找到的磁通密度找到。$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

根据定义，电感是每施加的电流产生的磁通量，即

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

因此，我们发现系统的电感为

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

但是，所有其他来源（例如）给出的电感器的电感如下

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

我在推导过程中犯了什么错误？请详细说明。

您可以使用上面的引号来计算磁芯通量，而电感取每一匝中所有通量的总和。通过每匝的磁通量相同，并且等于磁芯磁通量。磁芯磁通与N成正比，磁通量的每匝总和与成正比。$N^2$

表达这种依赖性的另一种方式是说：由于匝之间的磁耦合。

考虑一个单匝电感器（左下方），然后想象一下，将单匝分成两根平行线，它们缠绕得非常紧密，因此它们实际上占据了相同的空间（右下方）。

对于给定的施加电压，两条平行线将分别消耗单匝电感器的一半电流，并且它们所消耗的电流与单匝电感器相同：-

因此，每条平行线必须具有单根线的两倍的阻抗，并且在并行布线时，必须表现出与单根线相同的阻抗。到目前为止还好吗？

现在，重新排列这两根线（在您的眼睛中），使它们彼此串联。阻抗变为阻抗的四倍：-

这意味着电感增加了一倍，即匝数增加了一倍，将这个示例扩展到n匝是微不足道的。

我在推导过程中犯了什么错误？请详细说明。

电感为

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

$\lambda$