傅立叶级数的作用是什么？

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什么是傅立叶级数？它的作用是什么？

math wave fourier

— 冷光
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傅立叶级数：

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

术语是一个常数，即DC电平。也可以不除以二而编写，但这是约定。无限总和的项是具有相同频率的加权正弦和加权余弦的总和。如果将它们作为复数Argand平面中的相量绘制，您会看到结果再次是正弦，但幅度不同，并且相移了。因此，方程也可以写成 $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

因此，我们得到正弦波的总和，即基频所有多个频率，每个频率都有自己的幅度和相位。 $\omega_0$

傅立叶证明，您可以用这种方式描述每个重复功能。有时级数是无限的，有时级数是有限的。有时会丢失项，这意味着它们的振幅为零。

最著名的傅里叶级数之一是方波：

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

或扩展：

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

因此，这是一个缺少术语的序列：方波甚至没有谐波。下图显示了时域的外观：

在此处输入图片说明

顶部的图显示了前两项的总和，然后是第三个项，在底部的是第四个项。每个增加的项将使波形更接近方波，并且您需要将级数限制为无穷大才能获得理想的方波。

有时很难看到其中的基本正弦。以3Hz正弦和4Hz正弦之和为例。产生的波形将每秒重复一次，即1Hz。1Hz是基频，即使其幅度为零。该系列可以写成

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

以下所有术语的振幅均为零。

— 史蒂文夫
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t

$t$

@Dilip-糟糕，对。固定。

— stevenvh 2012年

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每个可实现的模拟信号，无论您能想到的还是可以在电压与时间图上合理地画出的任何信号，都可以用数学术语表示为无数个不同频率的正弦波之和-这种形式：

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

不同的信号，通过改变的值构建A，B，C等和f1，f2及其他。

当有人提到傅里叶级数时，他们将表示波形表示为一系列如上所述的加法运算。

实际上，每个模拟信号在每个频率上都有一些内容-即使幅度为.1e-67，它仍然存在。理想情况下并非如此-如果我构建一个纯方波，那么我就知道一个事实，它仅包含频率为其周期的奇数倍的频率。因此1Hz方波是1Hz正弦波加上3Hz正弦波之和，以此类推。对于其他众所周知的波形，例如三角波和斜坡，人们已经进行了计算，确定了出现的频率和频率。

— 愤怒的EE
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并非完全是模拟信号，该信号本质上必须是周期性的（或者您必须将分析限制在周期性的信号部分）。您也不限于模拟信号，我可以想象当今大多数傅立叶变换是对采样（离散）数据执行的，即执行DFT而不是“常规”傅立叶变换。

— 标记

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您可以采用非周期性信号的傅立叶变换-但是，如果周期性信号的傅立叶变换仅包含基频的离散倍数，则瞬态信号的傅立叶变换在频域中是连续的-所有频率都有一定的含量。

— AngryEE 2011年

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我认为他只是想指出要具体分析您计算其傅立叶级数的周期信号，但是一般的傅立叶变换可以处理任何信号。OP正在询问傅立叶级数。只需注意便可以清除它。

— 2011年

没错，可以在这里做出区分。我一直以为系列是指这样一个事实：它是无限多个附加项。

— AngryEE 2011年

傅立叶变换是一种振幅密度函数，单位为每Hz（或每rad / s）的振幅。F(w0) = A并不意味着信号有期限A*exp(j*w0*t)。相反，您必须在一个光谱带上积分以计算相应的时域函数。随着带宽缩小到0，除非频谱带包含增量函数，否则时域值将变为无穷小。通常，您有一个无穷大的振幅正弦曲线的无穷大（无法索引）。

— Eryk Sun

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傅里叶级数是将周期波形表示为（谐波）正弦波形（可能是无限）之和的一种手段。

它也用于在有限（紧凑）的时间间隔内将信号表示为正弦波形的无穷大。

本质上，通过建立时域中的信号（即，表示为时间的函数的信号）和频域中的等效信号（即，表示为频率的函数的信号）之间的关系，傅里叶系列可以对信号和系统进行谐波分析，这是无线电传输理论，编码理论，控制理论，量子理论和许多其他非常有用的工程领域的基础。

信号的傅立叶级数表示起初看起来更复杂，涉及复杂的表达式和“无穷大”，作为一种数学工具，它们使工程师能够解决使用闭式表达式无法解决的问题。

简单地说，有时将空间和/或时间的变化表示为频率和相位的变化有时很有用。特别是对于周期性变化。但是，即使变化不是周期性的，只要将变化限制在空间和/或时间上的某个间隔，它也将被限制在频率上的相应间隔（带宽）。

傅里叶级数的应用有助于理解通信系统的信道带宽，开发图像压缩算法并提高配电系统的可靠性。

— 西奥
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如果您提出一些可读的参考文献来实现您的最后一段，“我对傅里叶级数的应用对理解通信系统的信道带宽起到了作用……”，我的专业非常纯数学，我非常感谢。

— Ali Bagheri

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为了给上述注释增加一些实用性，可以通过诸如FFT（快速傅立叶变换）和DFT（离散傅立叶变换）的算法将傅立叶时域序列分解为频域分量。能够应用该算法的一项重要的实际结果是，在研发和实验室测试中，我们通常希望针对本底噪声（例如SNR或无寄生动态范围）来测量信号的频谱纯度，以查看其纯度或频率，毫无失真，我们的信号内容是。如果我们有时域输出（例如DA转换器会处理），则无法仅通过查看时域响应来确定这些值，因此通常在仿真方面，我们将使用DFT模块进行转换时域信号进入频谱（频率）域。在实验室的示波器上，我们需要有一些可以查看光谱特性的工具（通常使用光谱分析仪）。这些工具的核心取决于傅立叶分析和光谱分解方法。因此，对于傅立叶分析在EE中为何如此重要，您有实际的理由。

— 拍
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