Twin-T有源陷波滤波器分析

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有人可以在分析Twin-T有源陷波滤波器时给我一个提示吗？我尝试了三角星变换，然后进行节点分析，但最终得出了相互矛盾的方程式。例如，请查看德州仪器（TI）应用笔记“ 音频电路集合，第2部分 ” 中的图1 ：

在此处输入图片说明

在我正在研究的更一般的示例中，我删除了C4 / C5和R6 / R7（以及那个Vcc），并将T无源分量作为匹配的电导来处理，如下所示：

R1和R2变成Y1，R3变成2Y1，C1和C2变成Y2，C3变成2Y2，R4和R5具有电阻R1和R2的通用分压器

audio operational-amplifier filter

— 乔治
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这听起来像是dsp.stackexchange.com认为应该在此处出现的问题。别人怎么看？

— Kellenjb 2011年

@Kellenjb-这里也是话题，但在那里可能会得到更好的答复。如果OP或DSP家伙希望将其迁移，我们可以做到这一点-当然可以处理更多的关注。或者，绘制原理图并上传图像，以将其凸显到首页上，以引起更多关注....不确定如何第一次错过它。

— 凯文·维米尔

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可以使用以下过程使用Delta-Star变换来分析Twin-T网络：

可以将两个T网络并行转换为双Delta网络：
将这两个Delta网络压缩为一个Delta网络
将生成的Delta网络转换回T网络。
若要查看无源孪生T的陷波行为，请假定节点2接地，并将在步骤3中获得的Delta网络视为分压器。

您会发现的传递函数。
$H (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} + {ω_{0}}^{2}}$ $H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$
为了了解自举的效果，假设节点2保持在电压αVout上，其中α是介于0和1之间的某个比例因子。T网络仍充当分压器，在Vin和 αVout 之间进行分压。为了找到系统的行为，我们需要求解方程，其中是没有反馈的传递函数。这样做，我们发现一个新的传递函数：。请注意，对于（无反馈，如预期的那样，我们有。对于
$v_{out} = α \cdot v_{out} + H (s) (v_{in} - α \cdot v_{out})$ $v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$ $H (s) = Z_{2} / (Z_{1} + Z_{2})$ $H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$ $G (s) = \frac{1}{(1 - α) \frac{1}{H (s)} + α}$ $G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$ $\alpha=0$ $G(s)=H(s)$ $\alpha=1$ ，系统变得不稳定。将该函数绘制为0到1之间的alpha值，我们发现缺口的Q值有了很大的增加。

结果传递函数为：。

G (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} (α - 1) + {ω_{0}}^{2}}

$G(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0(\alpha - 1) + {\omega_0}^2}$

更改反馈增益，频率响应如下所示： $\alpha$

各种变换的代数有点乏味。我用Mathematica做到了：

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

— 尼伯特
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这是解决问题的一种方法-带有反馈的陷波滤波器要稍微复杂一点，所以暂时，我将概述如何制作twin-T陷波滤波器的一般形式：

在此处输入图片说明

要使用节点分析来解决电路，该怎么做是将电压源Vin转换为其等效的Norton源-尽管有点麻烦，因为您必须将Vin转换为两个 Norton源以解决R1和C1，然后重新布置电路以补偿。像这样：

当前源版本

点1、2和3在等效电路上以其新位置显示。然后，您应该能够通过检查写下KCL方程，并在未知数V1，V2和V3中创建3乘3的扩充矩阵。然后，可以使用Cramer规则根据Vin求解V2 / Vo。

TI数据表中所示的反馈电路应该没有那么复杂，因为输出由U1A和U1B缓冲，所以您可以创建一个类似的电流源等效电路；它的输出电流由U1A和U1B组成。而不是将我的第一个图中的R2和C2接地，它们将连接到具有值的电压源，其中alpha是分压比。 $Vo*\alpha$

编辑：更正了第一个图

— 比特雷克斯
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