负二进制并行前缀加法器单元

我正在尝试为基于负数的加法器设计并行前缀加法器。Negabinary是以2为基数$-2$而不是常见的base $2$二进制。每个1位加法器产生一个和，并且有两个（而不是二进制中的一个）进位到下一个加法器。

为了使加法器更快，我想使用并行前缀结构，例如下面给出的Ladner-Fischer结构。我熟悉二进制系统中紫色单元格的功能，但不确定如何在负二进制系统中获得相同的功能。

我这样做的原因只是为了好玩，我还没有发现过用于消烟的任何用途。

用于计算总和并携带的公式：

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus (c_i^+ + c_i^-)$

$c_{i+1}^+ = \overline{a_i}\overline{b_i}\overline{c_i^+}c_i^-$

$c_{i+1}^- = a_ib_i\overline{c_i^-}+a_i c_i^+ \overline{c_i^-}+b_i c_i^+ \overline{c_i^-}$

Ladner-fischer携带树状结构：

如果有任何不清楚的地方，请不要犹豫。

我在这个问题上花费的时间可能比我本来应该花费的时间更多，但这是我的发现。

我找不到负数的“纯”并行前缀加法器的任何示例。我还认为这是一个未解决的问题，因为我还没有任何证据表明这是不可能的。

我能得到的最接近的结果是使用两步负负加法（在文献中通常缩写为nnba）。它基于以下属性：

让和克（X ）= X ñ - 1 ＆OverBar; X ñ - 2。。。X 1 ＆OverBar; X 0。这些基本上是分别与和的XOR运算。然后您可以证明$f(x) = \overline{x_{n-1}}x_{n-2}...\overline{x_1}x_0$$g(x) = x_{n-1}\overline{x_{n-2}}...x_1\overline{x_0}$0xAA...AA0x55...55

$$-(a +_{nb} b) = g\left(f(a) + f(b) + 1\right)$$

$+_{nb}$$+$

然后，可以使用相同的属性但操作数为零，将负和简单地求反：

$$-x = g\left(f(x) + f(0) + 1\right)$$

因此，为了使用并行前缀加法器找到总和，您可以：

1. $f(a)$$f(b)$
2. $+1$$s_1$
3. $s_1$$f(g(s_1))$
4. 0xAA...AB$=f(0)+1$$s_2$
5. $g(s_2)$

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我实际上已经尝试找到一个“纯”并行前缀加法器，但是我认为在我愿意花时间的时候它太复杂了。原因如下：

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$$a \circ b=a\cdot \bar b$

$$\begin{align} (a\circ b)\circ c &= a\cdot \bar b \cdot \bar c\\ a\circ (b \circ c) &= a\cdot \overline{b \cdot \bar c} \end{align}$$

$c_i^+\overline{c_i^-}$$c_i^-\overline{c_i^+}$