RC电路为什么不改变输入正弦的形状？

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在上图中，红色方波是RC电路的输入，蓝色波是RC电路的输出。当输入正弦波作为输入时，我无法理解为什么得到完美的正弦波。电容器必须花费一些时间进行充电和放电。所以我的直觉叫输出是周期为输入一半的某些周期波。有人可以帮我解决这个问题吗？谢谢！

在时域中，它不应该这样做吗？
在t = 0时，电容器的电压为0。由于输入电压很大，电容器会继续充电并在下降时遇到输入正弦波。

然后输入电压低于电容器电压，因此电容器开始放电，并在上升时再次遇到输入正弦波。

capacitor

— Hiiii
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正弦波是非常特殊的波形。电容器电流与输入电压的变化率成正比。在数学联盟中，我们可以说电容器电流是电容器两端的电压相对于时间。通过“意外”，正弦函数的导数就是余弦函数（相移正弦波）。

I = C * \frac{d V}{d t}

$I = C*\frac{dV}{dt}$

— G36

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我会说@ G36钉了它。输出的失真。但是失真的波形恰好具有相同的输入形状，只是更小且具有相移。而且，您可以看到如果从t = 0开始输入“正弦”，则“失真”会如何建立（事实上，正弦是无限长的正弦，才是正弦）。您将看到输出严重失真（具有不同的形状），直到达到稳态时，它变成正弦正弦。

— Sredni Vashtar

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...而且，顺便说一下，所有这些“相似”归结为一个事实，即指数函数是自相似的（无论您如何随时间移动，它看起来都像它自己）。它还具有一个看起来与自身完全相似的导数，因此当您添加Euler的身份时，您会看到为什么正弦和余弦如此特别。

— Sredni Vashtar

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该电路是线性系统，对输入正弦波的稳态响应将是另一个与输入频率相同的正弦波。请注意，稳态是指时间轴上完整响应的实际指数部分已衰减为零的区域。

— 楚

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如果您在时域中拥有正确的工具，那就更简单了。正弦，或更一般地说，任何cisoidal函数（即）是任何LTI系统的本征向量。就这样。

y = e^{(σ + j ω) t}

$y=\text{e}^{(\sigma+\text{j}\omega)t}$

— carloc

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学会在频率空间思考。这是在时域中很难看到的事情之一，但在频域中却表现得很好。

正弦波是单个“纯”频率。RC滤波器是一个不会失真的线性系统，这意味着它无法在输出中创建不在输入中的频率。仅输入一个频率时，输出只能包含该一个频率。唯一的问题是从输入到输出的相对幅度和相移是多少。

方波输入不导致方波输出的原因是因为方波包含很多频率。每一个都可以独立衰减和相移。更改谐波的相对强度和相位时，会在时域中获得不同的外观信号。

方波可以被认为是无限一系列正弦的叠加。这些都是奇次谐波（基频的奇数倍）。这些谐波的幅度在较高频率时下降。

您可以连续通过几个RC低通滤波器使一个方波通过，每个滤波器的滚降频率都远低于方波频率。在每个过滤器之后，结果看起来越来越像正弦。这是因为这样的滤波器比低频滤波器对高频的衰减更大。这意味着方波的谐波比基波的衰减更大。如果做得足够多，则谐波相对于基波的幅度很小，以至于您看到的只是基波。那是一个单一的频率，所以是一个正弦。

添加

这不是任何RC滤波器的反应方式：

对于RC低通滤波器，当输入频率远低于下降频率时，输出几乎紧随输入。在远低于下降频率时，输出是输入的积分。

无论哪种方式，输出斜率都不会突然变化。输入跨越输出的上方或下方没有什么特别的，因为这很顺利。您会在输出中得到一个拐点，但是由于输入之前先平滑而后又平滑，所以出现了平稳的驼峰。

编写一个自己模拟的循环可能会很有帮助。您要做的每一步就是将输入的瞬时差异减去输出的一小部分改变输出。而已。然后向其施加一个正弦波，看看输出如何平滑地跟随以产生另一个正弦波，尽管相位滞后且幅度较低。

— 奥林·拉斯罗普（Olin Lathrop）
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谢谢您的明确解释（：频域使您更容易理解为什么正弦输入会产生正弦输出！但是，对我来说，所有这些电路如何了解傅立叶级数并分别响应输入中的每个谐波仍是

— 一件神奇的事情

抱歉，我了解频域，但是我还不能说服我的时域推理-_-请问我更新的问题。我发布了一张新照片。再次感谢:)

— Hiiii

@Hiiii，看不到波形被“分解”为正弦波形。可以看到所有这些单独的正弦波形都存在，并且我们将它们视为单个复杂波形而“伪装”起来。单个复数波形是高级视图，而不是标准视图。

— TonyM

@TonyM谢谢，我想我已经开始了解频域。但是，当我开始思考时域中发生的事情时，我就变得一团糟。您能否看一下更新后的问题。我为图片添加了一些解释...

— Hiiii

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@Hiii在时域中，如果在t <= 0时输入为零，而在t> = 0时输入正弦波，则在时间t = 0之后输出将不会立即是正弦波。消逝的时间常数为1 / RC，叠加在正弦波上。在频域中，您“忽略”了该瞬变，因为您正在考虑的情况是，无论过去还是将来，输入始终都是正弦波。

— alephzero

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请记住，电容器电压的变化率取决于输入电压和电容器电压之间的电压差。您的图表不代表这一点。

当输入和电容器的电压为0 V且输入开始上升时，电容器电压应开始缓慢上升，因为输入电压（以及电压差）也很小。

当输入达到峰值时，电压差最大，此时电容器电压上升最快。当输入电压开始下降时，电容器的充电速率也下降。在两个电压满足后，相差开始时很小，因此放电率也很小。事实证明，这恰好导致另一个正弦波。

下面的图形是使用上述规则模拟的（使用电子表格）。输入电压和电容器电压之间的电压差在输入电压的峰值之前最大。

请注意，该图还显示，电容器电压在处不会回到零，而是保持在零以下。这与电容器电压相对于输入的相移是一致的，只是两个电压均从零开始后需要一段时间才能达到稳态。 $2\pi$

在您的曲线图中，电容器在两个电压相遇后立即放电最快，但这并不是电压差最大的地方。对于方波输入，情况将是这样，因为直到方波中的另一个“阶跃”，输入电压才会再次改变。但是，正弦波输入会不断变化。

— 伊尔卡楚
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这里有些地方不对。通过选择低通RC滤波器，可以得到不同的定性结果（电容串联一个电阻，串联vin，串联电阻vout）。我在Vcap和Icap之间（因此在Vout之间）正交，但与Vin和Vcap之间的绿线定位（其延迟与RC关联）没什么不同。我们是否使用相同的电路？

— Sredni Vashtar

红线和蓝线的交叉点（即输入电压和电容器电压相同的地方）应在输出的局部最大值/最小值处，还是（如从图中所示）局部在最小值的前面/最大积分？

— TripeHound

Spice中的仿真显示Vcap和Icap异相固定90度，而Vcap滞后Vin的时间与RC相对应。绿线在此图上没有特别的意义（应该在Vcap，Icap图上显示），因此最好将其删除。Vin和Vout的相位相差90度加上上述滞后。

— Sredni Vashtar

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如果您的RC时间常数允许电容器以与输入波形变化相同或更快的速率进行充电/放电，则您会从正弦波中得到一个正弦波。

电容器的充电和放电会稍稍落后于输入波形的变化而延迟输出波形，这称为相位滞后。

如果您还没有互联网上的理论和数学知识，那么您会在互联网上找到很多。

— 托尼
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您的第一句话在技术上是正确的，但会给人留下错误的印象，即您不会在某些RC时间常数响应正弦输入而产生正弦。正弦进入RC低通滤波器通常会产生正弦输出。唯一的问题是衰减量和相移量，但该功能始终是正弦波。

— 奥林·拉斯洛普

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@OlinLathrop，我知道了。如果您愿意，我试图保持其“ DC视图”，以保持RC电路的充电性能。因此，进入低通滤波器的高频正弦波（例如，进入fc = 1 kHz低通RC的1 MHz）不会产生任何声音。从数学上讲是不正确的，但如果将示波器放在一个示波器上，就会发生这种情况。我在para3中差点写了“这是非数学视图”，以表明我正试图阐明一个想法。更有意义，好，坏还是需要编辑？

— TonyM

我认为您应该增加衰减。随着输入正弦波频率的增加，滤波器会更加“放慢”正弦波的频率，这不会改变形状，但会改变相对相位和幅度。在这方面，我接受的答案似乎也不完整。

— Todd Wilcox

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对我来说，时域在这里更具解释性。如果您查看第一个图形，则会看到作为阶跃函数出现的结果（对于前半个周期）。也就是说，您突然施加电压，然后保持恒定。这意味着电容器将尝试根据其自身的定律（此处为形式）达到施加的电压1-exp(-x)。

另一方面，如果您施加正弦波，则在相同的半周期内，电压不再急剧上升，并且不会保持恒定：它将逐渐变慢，直到达到峰值为止，那么它将下降得越来越快，总的来说在峰值附近。这意味着电容器将先缓慢充电，然后放电，放电速度越来越快。您所提取的是（至少）连续收费的结果；正弦也会放电。

如果有帮助，可以将阶跃函数视为所有（奇数）个正弦的总和，而正弦就是一个正弦。由于您RC是低通滤波器，因此它只会让低频信号通过，而拒绝高频信号。如果您也以，它就会变得更加清晰。 $\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}$

— 有关的公民
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