三角波会具有有限的或无限的正弦波分量吗？

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不连续会导致信号具有无限的正弦波分量，但是三角波是连续的，我正在上一堂课，讲师说，由于三角波是连续的，因此可以用有限数量的正弦分量表示，并且还显示出正弦波的多个频率的有限加法确实给出了纯三角波的形状。

我想到的唯一问题是，三角波的导数不是连续的，因为它是方波，因此将需要无穷大的正弦波，因此，如果将三角波的傅里叶级数的公式的两边都推导，我们将得到一个方波，显示为有限数量的正弦波之和。那会不正确吗？

fourier

— 赛义德·穆罕默德·阿贾德
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三角波确实有一个无限的傅立叶级数。请记住，导师容易犯错。

— 自闭症

您的老师问他时说了什么？

— 太阳迈克

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@Syed Mohammad Asjad：您对派生词的推理是正确的。也许您比老师对这件事有更好的了解。

— 凝结

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实际上，为了具有有限的傅里叶级数，函数及其所有导数必须是连续的。正弦曲线的所有导数都是连续的，正弦曲线的任何有限和也是如此。

— 戴夫·特威德

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不是答案，而是：具有有限系数的傅立叶级数非常严格。大多数周期函数具有无限傅立叶级数。但是，函数越平滑，无穷大处系数的衰减越快。如果一个函数是有界导数的k倍可微分，那么它的傅里叶系数（c_n）的衰减速度最快可达1 / n ^（k +1），这可以通过归纳法看出。对于解析函数（具有收敛泰勒级数的函数，即比无限微分更平滑的函数），衰减是指数的。三角形的傅立叶级数正好是1 / n ^ 2。

— Alexandre C.

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三角波是连续的

从这里引用：-

三角波没有不连续的跳跃，但斜率每个周期不连续地两次变化

斜率不连续地变化也意味着无限范围的正弦分量。

例如，如果您对一个方波进行时间积分，则会产生一个三角波，但是在时间积分之后，原始方波的所有重音仍然存在：-

— 安迪（aka）
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一直在想同样的事情，感谢代表的帮助很大，谢谢:)

— Syed Mohammad Asjad '17

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讲师说，由于三角波是连续的，所以可以用有限数量的正弦表示

您可能没有正确执行此操作，或者您的老师错了。信号本身连续是不够的，但是所有导数也必须连续。如果任何导数存在不连续性，则重复信号将具有无限的谐波序列。

三角形是连续的，但其一阶导数是方波，它不是连续的。因此，三角波具有无限的谐波序列。

— 奥林·拉斯罗普（Olin Lathrop）
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Nope没听错，也没打错口号，因为他说了两次，后来又问全班他说了什么，以及我当时的想法:)

— Syed Mohammad Asjad

@SyedMohammadAsjad你们都是对的。来自谷歌; misspeak： “以不够清晰或准确的方式来表达自己。” 我认为你们中的一个正在使用“不够清晰”，而另一个正在使用“不够准确”。

— uhoh

尽管此答案的措词在某种程度上暗示了这一点，但所有导数都存在（因此由于存在下一个导数而是连续的）这一事实，仍然不足以具有有限的傅立叶级数。大多数用于周期信号的傅立叶级数，无论多么平滑（类\\数学C ^ \ infty $，甚至是解析类），都具有无限多个非零分量。除了“有限的正弦和余弦之和”以外，很难对那些没有的描述。所有这一切意味着平滑度是一个与系数趋于 0

— 马克·凡·莱恩

砖滤波器可以使谐波数量有限，并且仍然看起来是/ \ / \ / \ / \ / \ /三角的至少20个，距离无限远

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75

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数学证明：

采取由正弦/余弦分量的有限序列的加权和组成的函数。

其导数也是正弦/余弦分量的有限序列的加权和。如果推导任意次数，则相同。

由于正弦和余弦是连续的，因此函数及其所有导数都是连续的。

因此，不能使用有限系列的正弦/余弦分量来构建在任何导数中具有不连续性的函数。

— 佩福
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正是我所想，谢谢:)

— Syed Mohammad Asjad '17

应该是“正弦和余弦是平滑的”，而不仅仅是连续的-但要旨是正确的，正弦和余弦的有限和是平滑的，因此它的任何导数都不能有间断性

— Nimish

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@nimish他证明了所有导数都是（co）sines的有限和，因此他只需要（co）sines的连续性，而不是平滑性:-)

— yo'17

是的，错过了。尽管从对$ z \ in \ mathbb {C} $的$ \ exp（z）$的分析性来看，它仍然微不足道。

— nimish

数学答案的荣誉，可以解释数学，而不仅仅是粘贴！

— uhoh

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这里有很多好的答案，但这实际上取决于您对“可以代表”的解释。

人们必须了解，三角波是一种理论上的数学构造，实际上无法实际存在。

从数学上讲，要获得纯三角波，您将需要无限数量的谐波正弦波，但是要获得三角波的表示形式，这些分量中的大多数都太小了而无所谓，会丢失在正弦波的背景噪声中系统，或者频率如此之高以至于无法再传输。

因此，实际上，您只需要有限的数目即可获得可用的表示形式。您希望该表示的好坏决定了您需要使用多少个谐波。

— 特雷弗
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那确实是要看的东西之一，我肯定会问我的老师，他的意思是否是因为您是对的，实际上，我们根本不会使用无限频率，即使在方波中也是如此（ t一个纯正方形）：）

— Syed Mohammad Asjad '17

尽管您认为三角波是一种数学构造是正确的，但您的推理是错误的。您不能使它产生有限的多次谐波，这一事实并不能证明您根本无法制造。

— 2017年

@yo'的确是那件事，我认为我们很多人都很难过。如果三角波=在某个点上无限数量的正弦波，则无法添加或传递谐波。如果它只是一个三角波....通过其他方式生成的...那又是什么...您如何传输它..以及传输它的事物如何知道其区别...让我头痛不已基本上，即使只是一小段电线或PCB迹线，也不能不扭曲它。

— Trevor_G

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简而言之，数学理想与现实世界之间的差异。

— peterG

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另一种方法。

让我们将x（t）称为三角波，并将y（t）称为方波，它是方波，因此是不连续的。

如果x（t）是正弦信号的有限总和，那么根据该操作的线性度，其导数将是正弦信号的有限导数之和，也就是正弦信号的有限总和。

但是后一个信号不能是方波y（t），因为正弦信号的有限和是连续的。因此，我们有一个矛盾。

因此，x（t）必须具有无限的傅立叶分量。

— 洛伦佐·多纳蒂（Lorenzo Donati）支持莫妮卡（Monica）
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我建议在实践中使用一个简单得多的测试。如果波具有任何尖角，则需要建立无限的正弦波分量。

为什么？因为一定数量的正弦波无法产生尖角。从归纳法求和的分解规则中可以证明这一点（对于所有有限和和所有无条件收敛的无限和，Σ（a + b）=Σa +Σb）。

— 约书亚记
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有限傅立叶级数可表示的函数集为：

F ：= {F （ X ） = {一种}_{0} + \sum_{ñ}^{ñ \in ñ} （ {一种}_{ñ} \cos ñ X + b_{ñ} 罪 ñ X ）}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

对于所有的有限集合的指数ñ。逐项微分表明，导数在F中是（1）连续的，（2）也是。由于三角波的导数不连续，因此三角波的函数不在F中。

这个证明是基于关闭间断的，但大多数的连续函数也是不属于˚F。由于没有多项式或指数函数可以表示为正弦和余弦的有限和，因此F的唯一成员是上面形式明确列出的那些。

— 贾里德·高根（Jared Goguen）
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