如何将真值表映射到三元逻辑函数？

请客气。我有一个来自不同工程领域的棘手且重要的问题，其答案在电气工程领域可能是众所周知的。我在StackOverflow上问了类似的问题

假设我有一个包含5个输入和1个输出的真值表。我使用了Espresso算法（例如Logic Friday）来最小化表格并编写一些有效的VHDL。一切正常。

我不想将真值表最小化并映射到与非门，而是想映射到任意三元逻辑函数。我对多值逻辑不感兴趣，但是对具有3个输入变量的逻辑函数不感兴趣。这些功能共有256种，而3-in NAND只是其中之一。这256个功能中的全部功能可能并不是全部有趣：一些功能减少到了2个输入变量同级。

问题：如何将真值表（例如，具有7个输入）映射到这些3合功能中的任何一个。做类似事情的工具会很棒，但是关于如何简化为任意三元函数的方法最好。

背景技术：现代CPU可以对512位寄存器（例如，指令vpternlog）执行任意三元逻辑运算，但是由于复杂性，编译器将其留给了程序员，程序员对如何对其进行优化一无所知。

digital-logic logic-gates boolean-algebra

— 莱宾克
source

甚至没有正式的方法来“映射”到任意二进制函数。并非每个二进制函数都包含完整的功能系统。三元也是如此。

— 尤金（Eugene Sh）。

我相信这对于二进制函数来说很难。

— user110971

@ user110971我不这么认为..我认为您对SAT问题感到困惑。

— 尤金（Eugene Sh）。

@EugeneSh。我认为问题可以归结为布尔最小化，这是NP难的，因为否则您可以解决SAT问题。至少我认为这是OP的要求。

— user110971 '17

@ user110971（我知道）标准算法不会简化为任意三元逻辑函数（这就是问题）。它们简化为3英寸NAND和3英寸AND，但不是所有其他的3英寸逻辑功能，这将允许更紧凑的缩减。

— HJLebbink '17

Answers:

分析

注意，该指令对所有可能的三元函数进行了编码。因此，给定任何三个布尔变量和对其进行任何按位运算，我们总能找到编码字节。例如，如果给定函数则可以为每种输入值组合找到真值，并存储在表格中例如，如果则从真值表可以看出。

f : Bool \times Bool \times Bool \to Bool,

$f : \text{Bool} \times \text{Bool} \times \text{Bool} \rightarrow \text{Bool},$

f (a, b, c) = a & (! b | c),

$f(a,b,c) = a \& (!b | c),$

f (a, b, c) = {TERN}_{10110000_{2}} (a, b, c),

$f(a,b,c) = \text{TERN}_{{10110000}_2}(a, b, c),$

a b c | f
------+--
0 0 0 | 0
0 0 1 | 0
0 1 0 | 0
0 1 1 | 0
1 0 0 | 1
1 0 1 | 1
1 1 0 | 0
1 1 1 | 1

由于只有8个输入要编码，而只有2个二进制结果，因此可以将其编码为8位数字，在这种情况下为0b10110000 = 0xB0。

最佳化

给定布尔值的任意n元函数，我们要做的就是将二进制函数转换为三进制函数。我们可以这样做，因为我们知道我们可以计算函数的任意组合。从一元和二进制节点的抽象语法树开始，我们将以与上述“编码”类似的方式表示一元和二进制函数开始。

因此，对于我们的f：

f = AND(a, OR(NOT(b), c)) = BIN[1000](a, BIN[1110](UNARY[10](b), c))

使用递归逻辑，我们可以将BIN和UNARY合并为：

f = AND(a, OR(NOT(b), c)) = BIN[1000](a, BIN[1011](b, c))

然后可以对其进行优化（转换规则很容易遵循布尔逻辑）：

f = AND(a, OR(NOT(b), c)) = TERN[10110000](a, b, c)

观察

这与计算FPGA查找表（LUT）的方式非常相似。我很确定您可以找到许多将逻辑映射到LUT的文本和算法。例如：流程图（http://cadlab.cs.ucla.edu/~cong/papers/tcad94.pdf）

— 保罗·克里斯蒂安·恩斯塔德
source

您说“转换规则很容易遵循布尔逻辑”，因此我尝试构建一个术语重写系统（TRS）来做到这一点。 第一个四进制BF（最复杂的类型）BF [100010110， 4]包含真值表： 0000 => 1 0010 => 1 0100 => 1 1000 => 1 A'B'C'D + A'B'CD'+ A'BC'D'+ AB'C'D'= BF [0xd1,3]（A，BF [0x16,3]（D，C，B），BF [0x02,3] （C，B，A））这是我用蛮力搜索可以找到的最小缩减量。 我的问题：如何（低效地）重写它，我看不出布尔逻辑的转换规则如何这里有什么帮助

— HJLebbink '17

而6分钟后，阅读这你甚至不能删除不是非常实用

— HJLebbink

您不需要重写它。只需对每个真值组合进行暴力评估。

— 保罗·克里斯蒂安·恩斯塔德

@engstad：啊，我终于明白了您的话：您的意思是：BF [i，K]（a_0，...，a_K）= BF [0xCA，3]（a_0，BF [upperhalf（i），K-1 ]（a_1，...，a_K），BF [lowerhalf（i），K-1]（a_1，...，a_K））

— HJLebbink

摘自我自己的回答。

将真值表转换为逻辑公式；使用例如Logic Friday。
将逻辑公式存储为Synopsys公式格式（.eqn）。

BF_Q6.eqn的内容：

INORDER = A B C D E F; 
OUTORDER = F0 F1;
F0 = (!A*!B*!C*!D*!E*F) + (!A*!B*!C*!D*E*!F) + (!A*!B*!C*D*!E*!F) + (!A*!B*C*!D*!E*!F) + (!A*B*!C*!D*!E*!F) + (A*!B*!C*!D*!E*!F);
F1 = (!A*!B*!C*!D*E) + (!A*!B*!C*D*!E) + (!A*!B*C*!D*!E) + (!A*B*!C*!D*!E) + (A*!B*!C*!D*!E);

使用Berkeley验证和综合研究中心的“ ABC：用于顺序合成和验证的系统”。

在ABC中，我运行：

abc 01> read_eqn BF_Q6.eqn
abc 02> choice; if -K 3; ps
abc 03> lutpack -N 3 -S 3; ps
abc 04> show
abc 05> write_bench BF_Q6.bench

您可能需要运行choice; if -K 3; ps多个时间才能获得更好的结果。

生成的BF_Q6.bench包含一个FPGA的3-LUT：

INPUT(A)
INPUT(B)
INPUT(C)
INPUT(D)
INPUT(E)
INPUT(F)
OUTPUT(F0)
OUTPUT(F1)
n11         = LUT 0x01 ( B, C, D )
n12         = LUT 0x1 ( A, E )
n14         = LUT 0x9 ( A, E )
n16         = LUT 0xe9 ( B, C, D )
n18         = LUT 0x2 ( n11, n14 )
F1          = LUT 0xae ( n18, n12, n16 )
n21         = LUT 0xd9 ( F, n11, n14 )
n22         = LUT 0xd9 ( F, n12, n16 )
F0          = LUT 0x95 ( F, n21, n22 )

可以将其（机械地）重写为我正在寻找的C ++。

— 莱宾克
source

很好地使用ABC！

— 保罗