非理想电容器的恒定功率放电

我的雇主出售升压转换器，以在断电时支撑电机驱动器。这些升压转换器由电容器组供电。为了正确确定这些存储体的大小，我们需要考虑它们的电压，电容和ESR，以确保电容器有足够的可用能量来在规定的功率下将驱动器保持规定的时间。现在，我们使用一种近似方法来执行此操作，但是拥有一个更精确的方程式会很好。

我们假设ESR，电容和负载功率是恒定的。

$$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\ $$

如果我是对的，这给了我一个非线性微分方程，这使我远远超出了数学上的舒适度范围。如果我理解正确，那么解决一个新的非线性微分方程将对数学知识领域做出重大贡献。鉴于此，我不太可能独自解决此问题。

有谁知道解决V（t）的任何好方法？有人知道这个方程式是否已经解决吗？我可能会误解这个问题吗？还是应该将其移至数学Stack Exchange？

这些方程在这里被其他人求解了。除非我在某处错过了一个符号，否则该公式给出了从电压开始，电容达到内部电压V所花费的时间。$V_{0}$，具有给定的ESR和电容，并具有固定的功率放电。

$$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$$

请注意，由于V是电容的内部未加载电压，位于ESR的“后面”，以查找电容在加载时达到特定端子电压所花费的时间，因此必须使用以下替代：

$$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$$ 哪里 $V_{min}$ 是所需的最小端子电压。

这些计算似乎很好地匹配了我们的数值估计方法。