用线性输入对RC电路进行数学建模

我发现了很多文档和书籍，它们使用以下公式来模拟瞬态RC电路中电容器两端的电压行为：

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

不幸的是，我发现没有资源讨论如何对RC电路进行数学建模，没有资源提供线性增加的电压源作为输入。

尝试将上述方程中的VMAX替换为线性方程，将导致方程收敛到线性方程，这意味着电流将在一段时间后停止（I =（VS-VC）/ R）。这显然是不正确的，因为我们应该看到电流随时间接近一个恒定值，如下所示：

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

我完全知道电容器上的电压在线性增加的电压源下会如何表现，有很多模拟器可以显示该结果，甚至可以想到结果的物理解释。我想知道的是，如何以线性增加的电压源对电容器两端的电压进行数学建模，类似于对瞬态过程中电容器两端的电压进行建模的方程式。

不幸的是，我发现没有资源讨论如何对RC电路进行数学建模，没有资源提供线性增加的电压源作为输入。

这个答案全是关于在频域中将电路转换为传递函数，然后将该TF与输入的拉普拉斯变换相乘以获得输出的频域等效值。最后，执行反向Laplace运算以获得输出的时域公式。

低通RC滤波器的拉普拉斯变换为：-

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

这是频域传递函数，因此，如果将其乘以斜率的等效频域（$\dfrac{1}{s^2}$），您将获得频域输出：-

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

使用反向拉普拉斯传输表，其时域输出为：-

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

请参阅表格中的第32条，或者，如果公式中没有明显的表格条目，则可以使用像这样的逆拉普拉斯计算器对其进行数值求解。

计算器允许您构建公式并输入RC的数值。在上面的示例中，我使用了RC值7，因此我可以看到该数字如何传播到最终答案。最后的障碍是用RC替代传播的7值。换句话说，它是一个数值求解器，但仍然是必须使用的非常有用的工具：-

对于一般输入信号和一阶系统，您可以通过积分因子求解微分方程， $\small (IF)$，方法*或拉普拉斯变换等。以下分析使用$\small IF$ 方法。

$^*$有关积分因子方法的说明，请参见下面的编辑。

给定您描述的电路，循环方程为：

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

区别：

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

重新排列：

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

注意 $\small \tau=RC$：

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

在您的情况下， $v_i$ 是坡道，因此： $v_i= \small Kt$，在哪里 $\small K$ 是坡道的坡度。

因此 $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$，以及要由 $\small IF$ 方法是：

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

的 $\small IF$ 是：

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

因此：

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

假设初始条件为零， $\small A=-KC$，因此：

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

和

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

................................................... ................................................... ...................................................

编辑：通过积分因子（）求解一阶常微分方程（ODE）$\small IF$） 方法：

对于ODE：

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$，在哪里 $\small P$ 和 $\small Q$ 是...的功能 $\small t$ （可能是常量），请按照以下步骤操作：

1. 确定积分因子： $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. 然后通过解决以下问题找到通用解决方案： $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$，在哪里 $\small A$ 是一个任意常数。

3. 确定 $\small A$ 从初始条件或边界条件（如果已知）。

例如，ODE： $\frac{dy}{dt}+2y=3$，带有 $\small y(0)=5$

解决方案：我们确定 $\small P=2,\:Q=3$

因此

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

因此

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

除以 $\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

应用初始条件：

$\small y(0)=5= 1.5 + A$; 因此$\small A=3.5$

给予： $y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

也可以根据Chu的建议添加另一种方法：

一阶线性微分方程的标准格式为：

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

如果您可以像这样进行设置，那么您的积分因子（这是解决这些问题的一种巧妙方法）是：

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

那么解决方案是：

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

假设以下电路：

^{模拟此电路 –使用CircuitLab创建的原理图}

然后从节点得到：

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

现在是标准格式。

所以， $P_t=\frac{1}{R\,C}$ 和 $Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$。因此，积分因子为：$\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ 和：

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

只要足够简单，您就应该能够轻松执行上述操作 $V_s\left(t\right)$。（不要忘记您不断的整合。）

您写的Vmax可以随时间变化的电压改变，只要它不比电容器的时间常数快太多，它就可以为您提供一个不错的模型。

如果您想得到更精确的答案，则可以对您的输入电压进行傅立叶/拉普拉斯变换，并在所获得的每个频率下计算电容器的电抗，将每个频率求解并相加，即可得到最终电压。

提供更精确解决方案的第二种选择比我建议的简单的第一件事要复杂得多，只有在电压上升比电容器充电慢得多的情况下，才能提供精确解决方案。

编辑：正如一些评论所提到的，也可以为斜坡而不是阶梯求解微分方程。