傅立叶，拉普拉斯和Z变换之间的关系和差异

我对这些话题有些困惑。他们都开始对我看起来一样。它们似乎具有相同的属性，例如与它们相关的线性，平移和缩放。我似乎无法将它们分开放置并确定每个转换的目的。另外，其中哪一个用于频率分析？

我（无法与Google一起）找到解决此特定问题的完整答案。我希望看到它们在同一页上进行比较，以便使我更加清楚。

拉普拉斯变换和傅立叶变换是连续函数的连续（积分）变换。

拉普拉斯变换将函数映射到复变量s的函数，其中。$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

由于导数映射到，所以线性微分方程的拉普拉斯变换是一个代数方程。因此，拉普拉斯变换特别适用于求解线性微分方程。$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

如果将复变量s的实部设置为零，，则结果是傅立叶变换，它实际上是的频域表示（请注意，这仅是正确的）如果对于的值，存在用于获得的拉普拉斯变换的公式，即，它不会变为无穷大）。$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

的Z变换本质上是离散版本的拉普拉斯变换，并因此可以是在解决有用差分方程，离散版本的差分方程。Z变换将序列映射到复变量的连续函数。$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

如果将z的大小设置为1，，则结果是离散时间傅立叶变换（DTFT），它实质上是的频域表示。$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

拉普拉斯变换可以被认为是CTFT的超集。您会看到，在ROC上，如果传递函数的根位于虚轴上，即对于s =σ+jω，σ= 0，如先前的评论所述，拉普拉斯变换的问题将简化为连续时间傅立叶变换。回顾一下，最好知道当我们有了傅立叶变换时，为什么拉普拉斯变换首先演化。您会看到，函数（信号）的收敛是存在傅立叶变换（绝对可加）的必要条件，但是在物理世界中也存在无法实现收敛信号的信号。但是，由于分析它们是必要的，因此我们通过将单调递减的指数e ^σ乘以它来收敛，从而使其收敛。这个新的σ+jω被赋予一个新的名称“ s”，我们经常将其替换为因果LTI系统的正弦信号响应的“jω”。在s平面中，如果拉普拉斯变换的ROC覆盖了虚轴，那么它的傅里叶变换将一直存在，因为信号将收敛。虚轴上的这些信号包括周期信号e ^jω= cosωt+ j sinωt（由欧拉定）。

同样，z变换是DTFT的扩展，首先使它们收敛，其次使我们的生活变得更加轻松。与ae相比，与ae ^jω相比更容易处理（将r，圆ROC的半径设置为不整齐）。

此外，对于非因果信号，您比拉普拉斯更可能使用傅立叶变换，因为拉普拉斯变换用作单边（单面）变换时，使生活变得更加轻松。您也可以在两面都使用它们，其结果在某些数学变化的基础上可以得出相同的结果。

傅立叶变换用于在频域中转换/表示时变函数。

拉普拉斯变换用于在“积分域”中转换/表示时变函数

Z转换与laplace非常相似，但它们是离散的时间间隔转换，更接近于数字实现。

它们都看起来一样，因为用于转换的方法非常相似。

我将尝试通过基于电路的示例来解释拉普拉斯变换和傅立叶变换之间的区别。因此，假设我们有一个用已知微分方程描述的系统，例如，假设我们有一个公共的RLC电路。还要假设使用通用开关来接通或断开电路。现在，如果要研究正弦稳态的电路，则必须使用傅立叶变换。否则，如果我们的分析包括接通或断开电路，则必须对微分方程实施拉普拉斯变换。

换句话说，拉普拉斯变换用于研究系统响应从初始状态到最终正弦稳态的瞬态演化。它不仅包括系统初始状态的瞬态现象，还包括最终的正弦曲线稳态。

用于不同工作的不同工具。早在16世纪末，天文学家就开始进行令人讨厌的计算。首先计算对数以将乘法和除法转换为更容易的加法和减法。同样，Laplace和Z变换将讨厌的微分方程变成代数方程，您有机会求解。最初发明了Fourier级数来求解砖块和其他偏微分方程中的热流。后来应用于振动琴弦，风琴管和时间序列分析。

在任何用于计算传递函数的LTI系统中，我们仅使用拉普拉斯变换，而不使用傅立叶或z变换，因为在傅立叶中，我们得到有界输出；它不会达到无穷大。z变换用于离散信号，但是LTI系统是连续信号，因此我们不能使用z变换。因此，通过使用拉普拉斯变换，我们可以计算任何LTI系统的传递函数。