简单的例子来说明拉普拉斯变换的效用

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我是一名数学教授，教授Intro ODEs课程，我的大部分学生都参加了工程学。因此，我想给他们很多关于如何应用我们的材料的例子。

我们正在进行拉普拉斯变换，我正在寻找一个来自控制理论的相对简单的例子。我在考虑检查汽车或恒温器中的巡航控制的PID控制（这些似乎是经典的例子）但是我很难理解为什么我们真的需要拉普拉斯变换或传递函数：我们已经知道如何在没有拉普拉斯的情况下求解具有常系数的线性ODE。

我希望有人能告诉我为什么我们真的需要（或者至少得到很大帮助）拉普拉斯变换和这些例子中的传递函数，或者指向一个我们所做的简单例子。

control-engineering control-theory

— 乔恩
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搜索给出了： quora.com/...

— 太阳能迈克

在控制工程和控制理论中，使用拉普拉斯变换导出传递函数; 对于连续时间信号，传递函数将输入的拉普拉斯变换映射到输出的拉普拉斯变换。更多信息请点击此处。

— AsymLabs

从上面的下面，有PDF文档中的几次演习这里，同时也是实际应用中，这github.com搜索提供了3页的软件库。

— AsymLabs

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将视为衍生运算符。因此， $s$

\frac{ÿ}{X} = \frac{小号 + 2}{{小号}^{2} + 0.5 小号 + 3}

$\frac{Y}{X}=\frac{s+2}{s^2+0.5s+3}$

看起来像

\frac{ÿ}{X} = \frac{\frac{d}{d Ť} 。 + 2}{\frac{d^{2}}{d Ť} 。 + 0.5 \frac{d}{d Ť} 。 + 3}

$\frac{Y}{X}=\frac{\frac{d}{dt}.+2}{\frac{d^2}{dt}.+0.5\frac{d}{dt}.+3}$

（ \frac{d^{2}}{d Ť} 。 + 0.5 \frac{d}{d Ť} 。 + 3 ） ÿ = （ \frac{d}{d Ť} 。 + 2 ） X

$(\frac{d^2}{dt}.+0.5\frac{d}{dt}.+3) y=(\frac{d}{dt}.+2)x$

（ \frac{d^{2}}{d Ť} ÿ + 0.5 \frac{d}{d Ť} ÿ + 3 ÿ ） = （ \frac{d}{d Ť} X + 2 X ）

$(\frac{d^2}{dt}y+0.5\frac{d}{dt}y+3y) =(\frac{d}{dt}x+2 x)$

对于线性系统，我们比时间方差和乘法更需要导数和卷积（除了缩放）。因此，值得转向拉普拉斯域。

代表频率。美丽的例子是初始值和最终值定理，它们表明时间和频率在极限情况下是彼此的倒数 $s$

X （ 0 ） = \underset{小号 \to \infty}{LIM} 小号 X （ 小号 ）

$x(0)=\lim_{s\to \infty} sX(s)$

X （ \infty ） = \underset{小号 \to 0}{LIM} 小号 X （ 小号 ）

$x(\infty)=\lim_{s\to 0} sX(s)$

拉普拉斯变换的另一个有用的应用是设计高通和低通滤波器。他们在工作更舒服 $s$ 领域比凌乱的衍生工具。

— 皮疹
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$\eta_1$ $k_2$ $\eta_2$ ），其并联连接？

换句话说，程序集看起来像这样：

我们正在拉右边; 左侧是固定的。我们想知道右侧的位移。

$u_i(t)$ $F_i(t)$ $u_i(t)=\frac{F_i(t)}{k_i}$ $\dot u_i(t)$ $\dot u_i(t)=\frac{F_i(t)}{\eta_i}$

这种类型的问题一直出现在汽车工程，冶金，聚合物合成和生物力学等领域。但如果你保留时间衍生物，你将很难写出这个和更复杂的组件的响应。

$t=0$ $F_i(s)=k_iu_i(s)$ $F_i(s)=s \eta_i u_i(s)$

ü （ 小号 ） = \frac{F （ 小号 ）}{小号 η_{1}} + \frac{F （ 小号 ）}{ķ_{2} + 小号 η_{2}}

$u(s)=\frac{F(s)}{s\eta_1}+\frac{F(s)}{k_2+s\eta_2}$

因此，组件的传递函数是

\frac{ü （ 小号 ）}{F （ 小号 ）} = \frac{1}{小号 η_{1}} + \frac{1}{ķ_{2} + 小号 η_{2}}

$\frac{u(s)}{F(s)}=\frac{1}{s\eta_1}+\frac{1}{k_2+s\eta_2}$

$F(t)=u(t)-u(t-1)$ $F(s)=\frac{1}{s}-\frac{\exp(-s)}{s}$

ü （ 小号 ） = \frac{1 - Ë^{- 小号}}{{小号}^{2} η_{1}} + \frac{1 - Ë^{- 小号}}{小号 （ ķ_{2} + 小号 η_{2} ）}

$u(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^2\eta_1}+\frac{1-e^{-s}}{s(k_2+s\eta_2)}$

ü （ Ť ， η_{1} = η_{2} = ķ_{2} = 1 ） = Ë^{- Ť} [（ Ë - Ť Ë^{Ť} ） ü （ Ť - 1 ） + Ë^{Ť} （ Ť + 1 ） - 1]

$u(t, \eta_1=\eta_2=k_2=1)=e^{-t}\left[(e-te^t)u(t-1)+e^t(t+1)-1\right]$

或者，以图形方式（在x轴上以秒为单位，在y轴上以位移为单位），

— Chemomechanics
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对于您的方法，您需要知道系统的确切ODE。但是，当为系统设计一个可以近似为LTI的控制器时，您不需要完全参数化和识别的ODE模型。您可以使用一些PID调整算法，或者可能与您的问题更相关，测量系统的频率响应函数（FRF）。您可以将传递函数拟合到此FRF上，但FRF本身已经足以使用循环整形来设计控制器。

— fibonatic
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