Navier-Stokes方程中粘性应力张量中第二项的物理解释是什么？

我一直在寻找这个答案有一段时间了。我读过许多文章，甚至在线观看了一些讲座，但是很多时候，这从来没有解释过，只是给出。Navier-Stokes方程中的粘性应力项看起来像

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ （ \nabla \vec{ü} + （ \nabla \vec{ü} ）^{Ť} ）

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

现在，术语很容易理解，因为它只是速度扩散，但是我很难想出术语。在我扩大这个学期后，我最终得到了 $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ （ \nabla \vec{ü} ）^{Ť} = （ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X} \nabla \cdot \vec{ü} \\ \frac{\partial}{\partial ÿ} \nabla \cdot \vec{ü} \\ \frac{\partial}{\partial ž} \nabla \cdot \vec{ü} \end{matrix} ）

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

这似乎意味着在无散度的速度场中不会出现这种效应，但是我仍然无法提出或找到关于该术语实际含义的任何物理直觉。有人知道这个术语的物理含义吗？

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— 亚当·奥布莱恩
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另外：您是正确的，该术语在不可压缩流中不存在。看起来它考虑到了由于密度梯度导致的动量扩散。两个相邻的流体块可以具有相同的速度，但动量不同，它们之间没有剪切应力，但是动量会扩散。

— 2015年

这个问题是工程学的主题。我删除了一些建议，建议其他站点对此问题进行评论。一方面是因为需要对等式的实用理解，另一方面是因为这是连续力学的一部分。请记住，可以嫉妒您的网站

相关讨论荟萃：meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/...

由于密度梯度非零而存在的关于动量梯度的观点是一个很好的观点。谢谢大家的回应！

— 亚当·奥布莱恩

Answers:

您不应将这两个术语分开以进行物理解释。术语在应变速率张量。由于存在流动流体而产生的动量通量（或应力）由整个项。在NS方程中，这两个术语都可以视为力密度（单位体积的力）。没错，不可压缩流的第二项为零（请参见此处）。 $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

更新：应变率张量的完整推导很复杂，在这里可能超出范围。如果您有兴趣，我发现Whitaker提供了很好的参考资料。简而言之，让我们接受张量代表应变率和像旋转运动一样的固体。任何张量都可以通过以下方式分解： $\nabla \vec{u}$ 中的第一项通常被称为应变率张量，是对称的，并且可以示出，它包括没有刚性旋转运动。第二项通常称为涡度张量，它是偏斜对称的，可以证明它对应变率没有贡献，并且像旋转运动一样代表刚性。

\nabla \vec{ü} = \frac{1个}{2} （ \nabla \vec{ü} + {（ \nabla \vec{ü} ）}^{Ť} ） + \frac{1个}{2} （ \nabla \vec{ü} - {（ \nabla \vec{ü} ）}^{Ť} ）

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— 所罗门·特格曼
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这就是我发现的内容，但是在尝试给出答案之前，我试图找到诸如应变率张量的推导之类的东西，以了解为什么它包含规则矩阵和转置矩阵。

— Trevor Archibald 2015年

谢谢，按照您的建议，我经历了从几何体得出的应变率张量，这对我很有帮助。

— 亚当·奥布莱恩

我同意@sturgman的观点，不应只看单个部分，而要尝试在int上下文中理解它。

查看Navier-Stokes方程的最基本版本（使用Einstein-Notation）：

ρ \frac{d ü_{一世}}{d Ť} = ρ ķ_{一世} + \frac{\partial}{\partial X_{一世}} （ - p + λ^{*} \frac{\partial ü_{ķ}}{\partial X_{ķ}} ） + \underset{\nabla \cdot （ η [（ \nabla \vec{ü} ） + （ \nabla \vec{ü} ）^{Ť}] ）}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial X_{Ĵ}} （ η [\frac{\partial ü_{一世}}{\partial X_{Ĵ}} + \frac{\partial ü_{Ĵ}}{\partial X_{一世}}] ）}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

原始内容中的不足部分可以重写。

\frac{\partial}{\partial X_{Ĵ}} （ η [\frac{\partial ü_{一世}}{\partial X_{Ĵ}} + \frac{\partial ü_{Ĵ}}{\partial X_{一世}}] ） = η （ \frac{\partial^{2} ü_{一世}}{\partial X_{Ĵ} \partial X_{Ĵ}} + \frac{\partial}{\partial X_{一世}} [\frac{\partial ü_{ķ}}{\partial X_{ķ}}] ）

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

这导致：

ρ \frac{d ü_{一世}}{d Ť} = \underset{一世}{\underset{⏟}{ρ ķ_{一世}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial X_{一世}}}} + \underset{三级}{\underset{⏟}{（ λ^{*} + η ） \frac{\partial}{\partial X_{一世}} [\frac{\partial ü_{ķ}}{\partial X_{ķ}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} ü_{一世}}{\partial X_{Ĵ} \partial X_{Ĵ}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

用符号表示应该看起来像：

ρ \frac{d \vec{ü}}{d Ť} = ρ \vec{ķ} - \nabla p + （ λ^{*} + η ） \nabla （ \nabla \cdot \vec{ü} ） + η \nabla \cdot \nabla \vec{ü}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— 鲁尔30
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我很抱歉:-(这不是我的意图。

— peterh -恢复莫妮卡