如何解决运动定律取决于状态向量的某些函数的最优控制问题？

状态向量x（t）和控制向量y（t）的典型最优控制问题可以表示为：

max_{x (t), y (t)} \int_{0}^{t_{1}} f (t, x (t), y (t)) d t

$\max_{x(t), y(t)} \int_0^{t_1} f(t,x(t), y(t)) dt$

服从 $x'(t)= g(t, x(t), y(t))$ 和边界条件 $x$ 。

我想解决一个看起来非常相似的问题，但是控件的运动定律是：

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$x'(t)= g(t, x(t), y(t), z(x(t)) )$

在这里，需要选择 $z(.)$ 。但是它的论点是国家。

我什至不知道从哪里开始寻找解决方案。我该如何解决这个问题？

control-engineering control-theory optimal-control

— 丹尼尔·威尔斯
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我想写它是正确的方式

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t))

$x'(t) = g(t,x(t), y(t), z(x(t))$ 我将修正原来的问题。

— 丹尼尔遗嘱

欢迎来到engineering.SE，+ 1是一个很好的第一个问题。

— 克里斯·穆勒

您是在寻找封闭式或正式的解决方案，还是在询问实用的优化方法？在前一种情况下，您应该在math.stackexchange.com之类的网站上提问。在后一种情况下，有一系列专门用于实践优化的学科。无论哪种情况，您都需要提供更多详细信息以获得真实的答案。

— footwet 2015年

我正在寻找实际的优化。更多详细信息：控制变量的子集取决于（我称），而控制变量的子集取决于（我称）。另外，我需要选择函数。最大化受到限制因此一种直观的解决方法是：-猜测 -解决（现在是标准的）最优控制问题（给定）-检查，如果不是，则猜测另一个但您看到没有理由算法会收敛。人们如何解决这个问题？

t

$t$

y

$y$

x

$x$

z

$z$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

— 丹尼尔·威尔斯

Answers:

为什么需要在？ $z$ $g$

g^{'} (t, x (t), y (t)) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$g'(t,x(t),y(t))=g(t,x(t),y(t),z(x(t)))$

现在使用作为 $g'$ $g$

$g$ 可以是任意函数，因此任何函数都可以合并到。 $z$ $g$

关于您的限制在评论部分中提到。对控制输入的任何限制都可以通过cost函数强制执行： $h$

f_{n e w} (t, x (t), y (t)) = f_{o l d} (t, x (t), y (t)) - C h (x (t), y (t))^{2}

$f_{new}(t,x(t),y(t))=f_{old}(t,x(t),y(t))-C\,h(x(t),y(t))^2$

其中足够大，以保证值足够接近零，但又不大到数值误差将主导原始。 $C$ $h$ $h$ $f$

— 里克
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您可以将问题离散化为个点，从而只需确定有限数量的参数（假设和在某种程度上是连续函数）。对于导数和积分，可以使用Euler方法，可以使用更高阶的方法，但会使问题更难解决。 $N$ $f$ $g$

重新制定为：

h = \frac{t_{1}}{N - 1}, \vec{x} = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}], \vec{y} = [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{N}],

$h = \frac{t_1}{N-1}, \quad \vec{x} = [x_1, x_2, \dots, x_N], \quad \vec{y} = [y_1, y_2, \dots, y_N],$

\begin{aligned} max_{\vec{x}, \vec{y}} & \sum_{n = 1}^{N - 1} f (h (n - 1), x_{n}, y_{n}) h \\ s . t . & x_{n + 1} = x_{n} + g (h (n - 1), x_{n}, y_{n}) h, & n = 1, 2, \dots, N - 1 \end{aligned}

$\begin{align} \max_{\vec{x}, \vec{y}} & & \sum_{n=1}^{N-1} f(h (n-1), x_n, y_n) h\\ s.t. & & x_{n+1} = x_n + g(h (n-1), x_n, y_n) h, & & n = 1, 2, \dots, N-1 \end{align}$

您还必须将边界约束添加到优化问题的等式约束中。您可以使用多种不同的方法来解决此问题，例如，如果可以访问Matlab，则可以使用fmincon，它可以最小化成本函数，该成本函数可以通过在总和前添加减号来固定。通常，您还必须提供初始猜测，这也可能会影响解决方案，因为不同的猜测可能会收敛到不同的局部最大值。通过增加您将获得越来越准确的解决方案，但可能需要更长的时间才能解决。如果您使用具有较少点的问题的解决方案并对其进行插值，然后将其用作更多点的问题的初步猜测，则收敛速度可能会更快。 $N$

— 纤维的
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