（简化的）加载桥的微分方程

10

我在计算简化的加载桥的微分方程时遇到了麻烦。

该系统的构建如下图所示（仅是草图）：

如果我使用牛顿法，那么通过忽略摩擦，空气阻力和绳索长度的变化，我将得到以下方程式：

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

当我查看抓爪（重量为的圆）的运动学关系时，将得到以下方程式。 $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

我知道权重和以及长度但是这些值现在并不重要。 $m_k$ $m_G$ $l$

目标是最后有两个微分方程。一个方程应显示的驱动力之间的关系和的路径手推车（与推导）的其他方程不应出现驱动力之间的关系和绳索的角度。 $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

之后，我要制作传递函数（拉普拉斯变换等），但这不是问题。

问题是我似乎找不到这些方程式。到目前为止，我最好的方法是这样的：

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

所以这意味着

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

我可以说：

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

$x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

$\varphi$

有谁知道我现在应该如何继续？我希望我不需要完整的解决方案。实际上，我对自己执行此操作更感兴趣，并希望朝着正确的方向发展。

— tlp
source

5

我的猜测是您可能需要另一个微分方程来进行角运动，其中涉及惯性，例如：

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

产生：

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

然后，您可以使用小角度近似值：

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

看看倒立摆的例子。

— am304
source

尤其是倒立摆是非常有帮助...感谢您-我没想到这一点

— TLP

6

运动学和动力学

这些就是解决此类问题的步骤。

分析系统的运动学。

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

注意：是一个旋转矩阵，。 $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

取时间导数：

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

使用牛顿方程：

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

替代： $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

对于z轴：

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

使用牛顿第二定律进行旋转：

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

使用三角身份：

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

做完了！现在您可以休息了... $\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
source