在低流量和高粘度的情况下，为什么我们可以忽略Navier-Stokes中的惯性（而不是粘性）项？

在低流量和高粘度的情况下，为什么我们可以忽略Navier-Stokes中的惯性（而不是粘性）项？

完整的Navier-Stokes： $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

惯性词：。 $\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

假设流量平稳且速率较低，则。因此，惯性项可以忽略。 $\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

但是，在我的资料中也指出将是这些情况下的主要术语。为什么不是？ $\mu \nabla ^2 \vec{v}$ $\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

fluid-mechanics chemical-engineering

— 拉乌尔
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你能引用书/文档/等吗？提出这个要求？在上下文中查看它会有所帮助。

— 卡尔顿

该课本是由Welty，Rorrer和Foster撰写的“动量，传热和传质的基础知识”。不幸的是，这在瑞典的实践问题文档中是个问题，因此我不确定是否会有很大帮助。

— 拉乌尔2015年

我有那本书的第四版（英文版）。我将看看他们是否能解释更多。

— 卡尔顿

陈述确实是一个重大错误/错印，我可以理解您对二阶导数的困惑！如果实际问题是由助教/教授提出的，那么他应该真的复习流体力学的基础知识……

\partial_{β} u_{α} \approx 0

$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$

— nluigi 2015年

@nluigi我看不到您从OP的问题中获得的位置，甚至看不到该表达式的含义。什么是和，差异wrt是什么？

\partial_{β} u_{α} \approx 0

$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$

β

$\beta$

α

$\alpha$

— Asad Saeeduddin

Answers:

通常，低流速和高粘度所暗示的是，我们正在处理所谓的低雷诺数流。雷诺数是无量纲数，它是惯性力（）与粘性力（）之比：对于低粘性力起主导作用（层流状态），对于高惯性力起主导作用（湍流状态）。类的无量纲数字 $\rho U U$ $\mu U/L$

R e = \frac{ρ U U}{μ U / L} = \frac{ρ U L}{μ}

$\mathrm{Re}=\frac{\rho U U}{\mu U/L}=\frac{\rho U L}{\mu}$

R e

$\mathrm{Re}$

R e

$\mathrm{Re}$

R e

$\mathrm{Re}$ 通过称为“缩放”的过程自然出现，其中方程式变为无量纲；通过此过程，然后可以根据相关的无量纲数字的值来说明哪些术语可以忽略。有关更多信息，请检查我对这个问题的回答。

从技术上说，“低流量和高粘度”不足以表示我们正在处理低流量，因为它还取决于长度刻度（通常是管道直径等）和密度（空气或水），但通常情况就是这样。 $\mathrm{Re}$ $L$ $\rho$

现在说低流速是不正确的；您可能是说。通过说证明了方程式的简化，这在物理上意味着惯性项与粘性项相比可以忽略不计。并不表示而是低流量暗示而可能很重要。考虑的量级估计 $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$ $u_\beta\approx0$ $\partial_\beta u_\alpha$ $\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$ ; 对于较小的值（有助于降低），它可能比级大得多。对粘性项的相似量级分析表明，这些将更为重要。因此，惯性项可以忽略但粘性项不能忽略的原因。 $L$ $\mathrm{Re}$ $O(U)$ $\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$

— 恩吕吉
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由于最后一项与成正比，而不与成正比，即使速度幅度很小，该项也可能很大。考虑在x方向管道中无滑动层流的简单情况。这是一个单向流，因此我们可以舍弃和并专注于。假定流速很小。 $\nabla ^2 \vec{v}$ $|\vec{v}|$ $v$ $w$ $u$

但是，仅仅因为通常很小，并不意味着我们可以得出也通常很小的结论。实际上，管道越窄，的大小越大。查看水平速度的梯度场，我们看到它倾向于向内指向管道的中心，那里的速度最大。这意味着我们有一个负的散度，其大小取决于速度变化的锐度，而不取决于速度的整体大小。 $u$ $\nabla u$ $\nabla u$

因此，并不是无关紧要的，这当然只是Navier Stokes准确地预测了粘性力导致压降的趋势在稳定状态下，水平管道流（或者您可以称其为压力流的必要性，以使流体抵抗粘性力）。取消引力和时变术语，自己看看。 $\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$

— 阿萨德·塞达丁
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