惯性极矩有什么区别，

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这个问题从根本上来说是如此基础，以至于我几乎不敢问这个问题，但是那天又出现了这个问题，办公室里几乎没人能给我一个很好的答案。我正在使用等式计算构件的切应力， $\frac{Tr}{J_T}$ 并注意到，对于具有圆形横截面的轴， $J_T = I_P$ 。

都 $I_P$ 和 $J_T$ 用于描述物体的抗扭转能力。 $I_P$ 被定义为 $\int_{A} \rho^2 dA$ 哪里 $\rho$ =到轴的径向距离 $I_P$ 正在计算中。但 $J_T$ 没有精确的解析方程，并且很大程度上由近似方程计算得出，而我没有看过任何参考。

所以我的问题是，惯性的极矩之间有什么区别 $I_P$ ，以及扭转常数， $J_T$ ？不仅在数学上，而且在实践上。每个代表什么物理或几何性质？为什么是 $J_T$ 很难计算？

— 威廉·S·戈弗雷
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扭转常数 $J_T$ 通过以下公式将扭转角与施加的扭矩相关联：

ϕ = \frac{T 大号}{J_{Ť} G}

$\phi = \frac{TL}{J_T G}$ 哪里

T

$T$ 是施加的扭矩，

L

$L$ 是成员的长度，

G

$G$ 是剪切的弹性模量，和

J_{T}

$J_T$ 是扭转常数。

另一方面，极惯性矩是横截面不变且无明显翘曲的横截面抗扭强度的度量。

圆形杆在扭转下的情况是特殊的，因为它具有圆形对称性，这意味着它不会翘曲，并且横截面在扭转下不会改变。因此 $J_T = I_P$ 。

当一个成员不具有圆对称性时，我们可以预期它会在扭转下翘曲，因此 $J_T \neq I_P$ 。

这留下了如何计算的问题 $J_T$ 。不幸的是，这并不简单，这就是为什么将常用形状的值（通常是近似值）制成表格的原因。

一种计算扭转常数的方法是使用Prandtl应力函数（另一种方法是使用翘曲函数）。

无需过多讨论，就必须选择Prandtl应力函数 $\Phi$ 它表示构件内的应力分布并满足边界条件（通常不容易！）。它还必须满足泊松相容方程：

\nabla^{2} Φ = - 2 G θ

$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$ 哪里

θ

$\theta$ 是单位长度的扭转角。

如果我们选择了应力函数 $\Phi = 0$ 在边界（无牵引边界条件）下，我们可以通过以下方式找到扭转常数：

Ĵ_{Ť} = 2 \int_{一个} \frac{Φ}{G θ} d 一个

$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$

示例：圆形截面的杆

由于圆形截面的对称性，我们可以采用：

Φ = \frac{G θ}{2} （ {[R}^{2} - {[R}^{2} ）

$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$ 其中R是外半径。然后我们得到：

Ĵ_{Ť} = 2 π \int_{0}^{[R} （ {[R}^{2} - {[R}^{2} ） [R d [R = \frac{π {[R}^{4}}{2} = （ {一世}_{P} ）_{C 一世 [R C 升 Ë}

$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$

示例：椭圆形截面的杆

Φ = G θ \frac{{一个}^{2} b^{2}}{{一个}^{2} + b^{2}} （ \frac{X^{2}}{{一个}^{2}} + \frac{ÿ^{2}}{b^{2}} - 1个 ）

$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$ 和

Ĵ_{Ť} = \int_{一个} \frac{{一个}^{2} b^{2}}{{一个}^{2} + b^{2}} （ \frac{X^{2}}{{一个}^{2}} + \frac{ÿ^{2}}{b^{2}} - 1个 ） d 一个 = \frac{π {一个}^{3} b^{3}}{{一个}^{2} + b^{2}}

$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$ 这当然不等于椭圆的极惯性矩：

（ {一世}_{P} ）_{Ë 升 升 一世 p s Ë} = \frac{1个}{4} π 一个 b （ {一个}^{2} + b^{2} ） \neq （ Ĵ_{Ť} ）_{Ë 升 升 一世 p s Ë}

$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$

由于一般 $J_T < I_P$ ，如果您使用极惯性矩而不是扭转常数，则会计算出较小的扭转角。

— 镁4w
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这几乎是一个巧合，并且仅适用于实心或空心圆形横截面。当然，带有扭力的轴通常是圆形的，其原因与问题无关。

由于圆形的对称性，圆形轴的扭转在物理上是简单的。通过对称性，在任何点处的应力和应变只能是距轴中心线的径向距离的函数。根据毕达哥拉斯定理，您可以选取任意一对轴并将半径表示为 $r^2 = x^2 + y^2$ 。

利用这一事实，您可以将横截面上的积分转换为积分中两个积分的和。 $x$ 和 $y$ 方向，并且再次对称，这两个积分必须彼此相等。

积分的形式恰好与圆形光束面积的第二矩相同，因此可以得出您所想的结果。

这对于非圆形截面不起作用，因为应力分布不是径向对称的。例如，如果您比较实心正方形截面的扭转常数和极矩，您会发现两个公式中的“常数”不同。横截面偏离圆的距离越大，差值就越大。

复杂形状的截面（例如工字梁）的扭转常数很难计算，因为截面上的应力分布很复杂，并且数学上没有积分的简单“公式”。工程手册中的许多扭转公式都是基于简化的假设，而不是“精确的”数学解。

但是在现实生活中，“误差”并不是太重要，因为当将扭转载荷施加到非圆形结构上时，横截面将“翘曲”，即它们不再保持平面。在现实生活中，翘曲的程度通常是未知的，因为竖井末端的约束会影响翘曲。如果您确实需要准确估计非圆形组件的扭转刚度，则必须对组件本身以及如何将其固定到结构的其余部分进行完整的3D模型建模。如果您以这样的详细程度来制作模型，那么将答案简化为一个数字就没有多大意义，只是可以将其称为“扭转刚度”。

— 零零
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极惯性矩Ip是要扭转的固体的阻力。但是，旋转质量的惯性矩J是旋转固体的惯性矩。看到这个网站。

据我了解，J与正常惯性矩相同，但对于旋转物体。

— 加尔托
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不要混淆

I_{z z} = \int r^{2} d A

$I_{zz} = \int r^2 {\rm d}A$ 与

I_{z z} = \int r^{2} d m

$I_{zz} = \int r^2 {\rm d}m$ 。他是在询问区域的极矩，而不是惯性的极矩。

— 2016年