确定Catmull-Rom花键的弧长以恒定速度移动

我有一条由Catmull-Rom样条线串联定义的路径。我在XNA中使用静态方法Vector2.CatmullRom，该方法允许在点之间进行插值，值从0到1。

并非该路径中的每个样条曲线都具有相同的长度。如果我沿路径前进时让每个样条的重物以恒定的速度移动，则会导致速度差异。我可以通过使重物的速度取决于花键的长度来对此进行补救。如何确定样条的长度？我是否应该通过将样条线切成10条直线并求和它们的长度来进行近似估算？

我将其用于在样条线定义的生成网格上进行动态纹理映射。

听起来好像您想在整个曲线上将物体的速度保持在某个恒定值上-知道弧长并不能帮助您做到这一点。它可以帮助您计算如果物体以该速度运动到什么时候会到达终点，因此它会比您现在拥有的更好（物体在所有点之间具有相同的平均速度），但是当物体绕弯道移动时，其实际速度仍会变化。

一个更好的解决办法是改变我们的参数参数（即从0到1，我会打电话的参数s与避免混淆t = time）以可变利率ds/dt，它是由速度，你希望对象在被移动确定什么曲线上的那个点。因此，换句话说，不是将s每帧更改为0.01 ，而是将一帧更改为0.005，下一帧更改为0.02，依此类推。

为此，我们计算每帧x（dx/ds）和y（dy/ds）的导数，然后设置

ds / dt =速度/ sqrt（（dx / ds）2 +（dy / ds）2）

也就是说，如果我们s以固定的增量进行更改，则采用我们想要的速度，然后除以我们实际要运行的速度。

证明

我们希望物体的速度保持恒定；让我们给该常量命名speed。

我们学习第二年的演算，对于参数方程x(s)和y(s)，

速度= sqrt（（dx / dt）2 +（dy / dt）2）

我们也了解到

dx / dt = dx / ds * ds / dt     （链式规则）

从而，

速度= sqrt（（dx / ds）2（ds / dt）2 +（dy / ds）2（ds / dt）2）

求解ds/dt，我们得到了方程式。

计算导数

我从未使用过这些特殊的样条曲线，但我知道它们只是给出x(s)和y(s)的三次方程式s。因此，我们可以dx/ds轻松找到导数：

x（s）= a * s 3 + b * s 2 + c * s + e

然后

dx / ds = 3a * s 2 + 2b * s + c

（同为dy/ds）当然，你需要知道的确切值a，b以及c做到这一点。根据此页面，这些值很容易找到。

最后，要回答标题中的问题：找到参数函数的弧长方程需要求解相当复杂的定积分；即使对于简单的三次方程式，通常也无法做到。

因此，您必须用数字估算积分。 您建议“将样条线切成10条直线并加总其长度”是一种非常简单的方法；但是，有些复杂的方法可以使用更少的行段为您提供更准确的结果。