如何计算给定大地纬度下的地球半径？

（我看到Wikipedia上有一个方程式可以完全满足我的要求，但没有参考文献。我无法确认该方程式的有效性！）

我已经了解了地心纬度和大地纬度之间的区别。

假定已知的半大半圆a和半小半圆b半径。如何在给定的大地纬度下计算半径？

我需要某种专家确认（派生，派生链接，专家确认，解释等）。

这个问题假设地球是椭圆形的。通过围绕其短轴旋转椭圆（按照惯例垂直绘制）来获得其参考表面。这样的椭圆只是一个水平拉伸了一个因子a和垂直拉伸了一个因子b的圆。使用单位圆的标准参数化，

t --> (cos(t), sin(t))

（定义余弦和正弦），我们获得一个参数化

t --> (a cos(t), b sin(t)).

（此参数化的两个组成部分描述了围绕曲线的行程：它们在笛卡尔坐标中指定“时间” t处的位置。）

的测地纬度，˚F，任何点的是角度“向上”品牌于赤道面。当a不同于b时，f的值不同于t的值（沿赤道和极点除外）。

在这张照片中，蓝色曲线是这种椭圆的一个象限（与地球的偏心率相比，被大大放大了）。左下角的红点是其中心。虚线将半径指定为表面上的一点。它的“向上”方向以黑色部分显示：根据定义，该点垂直于该点的椭圆。由于夸张的偏心率，很容易看到“上”不平行于半径。

用我们的术语来说，t与半径相对于水平线的夹角有关，f与黑色段的夹角有关。（请注意，可以从此角度查看表面上的任何点。这使我们能够将t和f都限制在0到90度之间；它们的余弦和正弦为正，因此我们不必担心负公式中的平方根。）

诀窍是要根据f从t参数化转换为1 ，因为就t而言，半径R易于计算（通过勾股定理）。它的平方是点组成部分的平方和，

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

为了进行这种转换，我们需要将“向上”方向f与参数t相关联。该方向垂直于椭圆的切线。根据定义，曲线的切线（表示为矢量）是通过区分其参数化获得的：

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

（微分计算变化率。我们在曲线周围移动时位置的变化率当然是速度，并且始终沿曲线指向。）

顺时针旋转90度以获得垂直线，称为“法线”矢量：

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

该法向矢量的斜率等于（a sin（t））/（b cos（t））（“越过上升”），也是其与水平方向所成角度的正切值

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

等效地，

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

（如果您对欧几里得几何学有很好的了解，则可以直接通过椭圆的定义获得这种关系，而无需经历任何trig或演算，只需识别出分别由a和b组合的水平和垂直扩展具有改变的效果即可。所有斜率均以此因子b / a表示。）

再看一下R（t）^ 2的公式：我们知道a和b-它们确定椭圆的形状和大小-因此我们只需要找到cos（t）^ 2和sin（t）^ 2就f而言，上述方程式使我们可以轻松完成：

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

（当tan（f）无限大时，我们处于极点，因此在这种情况下只需设置f = t。）

这是我们需要的连接。 将cos（t）^ 2和sin（t）^ 2的这些值代入R（t）^ 2的表达式，并简化为

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

一个简单的变换表明，该方程与Wikipedia上的方程相同。因为a ^ 2 b ^ 2 =（ab）^ 2和（a ^ 2）^ 2 = a ^ 4，

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )

有趣的是，我的数学文盲解决方案仅用了5分钟的思考和编码就能完成工作，是不是必须要考虑扁平系数而不是一个完美的椭圆模型？

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 

至少那是我在美国数据分析和评估中心（DAAC）中为国防部（DoD）高性能计算现代化计划（HPCMP）Wiki找到的公式。它确实说他们从维基百科的条目中大量借用。尽管如此，他们保留该公式的事实还是很重要的。