将地球近似为一个球体有多精确？

将地球近似为球体时，会遇到什么程度的误差？具体来说，当处理点的位置以及例如点之间的大圆距离时。

与椭球相比，是否有关于平均和最坏情况误差的研究？我想知道如果为了简化计算而选择球体会牺牲多少精度。

我的特定场景涉及直接映射WGS84坐标，就好像它们是完美球体上的坐标（其平均半径由IUGG定义）一样，无需任何变换。

您是对球形模型特别感兴趣还是对椭球模型感兴趣？我认为在球体和椭圆形之间，误差的数量会相差很大。

— 杰伊·劳拉

相关分析出现在此回复中。但是，要获得问题的答案，您需要指定如何将地球近似为一个球体。使用了许多近似值。它们都等于给出函数f'= u（f，l）和l'= v（f，l），其中（f，l）是球体的地理坐标，而（f'，l'）是球体的地理坐标椭球。请参见Bugayevskiy＆Snyder的Map投影，参考手册中的第1.7节（“旋转的椭球到球体表面的变换...”）。泰勒和弗朗西斯[1995]。

— ub

这类似于关于Google / Bing EPSG 900913投影的早期辩论（使用WGS84坐标，但投影时好像是在球体上），并且该错误可能是EPSG最初拒绝该投影直到承受开发人员压力的原因。不想过度分散您的注意力，继续进行一些辩论可能为wubher提供的出色链接中的信息增加了更多的广度。

— MappaGnosis

@ Jzl5325：是的，我的意思是说是一个严格的领域，而不是椭圆形，编辑了这个问题以提供更多的背景信息。

— 杰夫·布里奇曼

我认为您应该阅读以下内容：en.wikipedia.org/wiki/Haversine_formula

— 在

Answers:

简而言之，根据问题点的不同，距离可能会误差高达22 km或0.3％。那是：

可以用几种自然的，有用的方式来表示误差，例如（i）（残差）误差，等于两个计算距离之间的差（以公里为单位），以及（ii）相对误差，等于该差除以“正确”（椭圆形）值。为了产生便于使用的数字，我将这些比率乘以1000以表示相对误差（以千分之几为单位）。
错误取决于端点。 由于椭球和球体的旋转对称性以及它们的双边（南北向和东西向）对称性，我们可以将端点之一沿北半球的本初子午线（经度0）放置（纬度在0到90之间））和东半球的另一个端点（经度在0到180之间）。

为了探究这些依赖关系，我绘制了（lat，lon）=（mu，0）和（x，lambda）的端点之间的误差，作为-90至90度之间的纬度x的函数。（所有点的名义上都是椭圆高度为零。）在图中，行对应于{0、22.5、45、67.5}度的mu值，列对应于{0、45、90、180}的lambda值。度。这使我们对各种可能性有了一个很好的认识。不出所料，它们的最大大小大约是长轴（大约6700 km）的展平度（大约1/300）或22 km。

失误

残留错误

相对误差

等高线图

可视化错误的另一种方法是固定一个端点，让另一个端点变化，以勾勒出出现的错误。例如，此处是等高线图，其中第一个端点位于北纬45度，经度0度。和以前一样，误差值以千米为单位，正误差表示球面计算太大：

等高线图

当包裹在全球各地时，可能更容易阅读：

地球图

法国南部的红点显示了第一个终点的位置。

作为记录，以下是用于计算的Mathematica 8代码：

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

和以下绘图命令之一：

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

— ub
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@whuber

— Ragi Yaser Burhum 2012年

我最近探讨了这个问题。我想人们想知道

我应该使用什么球形半径？
产生的错误是什么？

近似质量的合理度量是大圆距离中的最大绝对相对误差

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

在所有可能的点对上评估最大值。

如果平坦度f小，则使err最小的球面半径非常接近（a + b）/ 2，并且由此产生的误差约为

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

（用10 ^ 6个随机选择的点对评估）。有时建议使用（2 * a + b）/ 3作为球半径。这导致误差稍大，err = 5 * f / 3 = 0.56％（对于WGS84）。

球面近似最大长度被低估的测地线位于极点附近，例如（89.1,0）至（89.1,180）。其长度被球面近似最高估计的测地线是赤道附近的子午线，例如（-0.1,0）至（0.1,0）。

附录：这是解决此问题的另一种方法。

在椭球上选择成对的均匀分布点。测量椭球距离s和单位球面上的距离t。对于任何一对点，s / t给出等效的球体半径。将所有对点上的该数量平均，得出平均等效球体半径。究竟应该如何计算平均值存在一个问题。但是我尝试过的所有选择

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

所有结果均在IUGG建议的平均半径R ₁ =（2 a + b）/ 3的几米之内。因此，该值可最大程度地减少球面距离计算中的RMS误差。（但是，与（a + b）/ 2 相比，它导致的最大相对误差略大；请参见上文。）鉴于R ₁可能会用于其他目的（面积计算等），因此有充分的理由坚持使用此选择进行距离计算。

底线：

对于任何形式的系统性工作，在距离计算中可以容忍1％的误差，请使用半径R ₁的球体。最大相对误差为0.56％。当您用球体近似地球时，请始终使用此值。
它需要额外的精度，解决椭球测地线问题。
对于封底计算，请使用R ₁或6400 km或20000 / pi km或a。这些导致最大相对误差约为1％。

另一个附录：您可以通过将μ= tan ^-1（（1- f）^3/ 2tanφ）（穷人的矫正纬度）用作大圆计算中的纬度，从大圆距离中挤出更多的精度。这样可以将最大相对误差从0.56％降低到0.11％（使用R ₁作为球体的半径）。（与直接计算椭球测地距离相对，尚不清楚采用这种方法是否真的值得。）

— ff
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