在计算两个经度点之间的距离时，为什么余弦定律比正弦定律更可取？

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实际上，当Sinnott发布Haversine公式时，计算精度受到了限制。如今，JavaScript（以及大多数现代计算机和语言）使用IEEE 754 64位浮点数，该数字提供15位有效精度。有了这样的精度，余弦公式（cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C）的简单 球面定律就可以提供良好的条件结果，直到小到1米左右的距离。 有鉴于此，在大多数情况下，使用更简单的余弦定律或使用更精确的椭圆形Vincenty公式（而不是正己烷）可能是值得的！（请注意以下关于球形模型精度限制的注意事项）。
资料来源：http : //www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html

余弦定律更可取的原因是什么？

注：引用的文字已经被更新，它的作者提到以下。

distance  algorithm  spherical-geometry  haversine 
— Afriza N. Arief
source
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余弦定律如何“优先”？我们可以通过两种方式回答此问题：对于计算机和程序员。对于计算机，haversine公式使用的trig函数较少，但需要两个平方根。为了提高计算效率，这是一个麻烦。对于程序员来说，haversine公式会更长一些。但是，余弦公式定律要求具有ACos实现，这种实现比ATan实现的频率要低一些。此外，要编写防弹代码，您必须检查ACos不会失败。仅出于这个原因，我们应该更喜欢大麻油。
— whuber
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我刚刚在Python中实现了Haversine和余弦。在这台计算机上，haversine需要3.3μs的时间，而余弦需要2.2μs的时间，如果您需要做很多，这是非常重要的
— gnibbler 2011年
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感谢大家的一些有益的观察和信息。我希望我将问题中引用的文本更新为更加客观和有益的。
— ChrisV
@ChrisV，感谢您的更新！我将其移至评论中，因为它不能直接回答问题，谢谢您的出色站点。
— scw

Answers:

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该问题由“条件良好”一词表示。这是计算机算术而不是数学的问题。

这里是要考虑的基本事实：

  1. 地球上的一个弧度跨度将近10 ^ 7米。

  2. 参数x接近0 的余弦函数大约等于1- x ^ 2/2。

  3. 双精度浮点的精度约为15个十进制数字。

点（2）和（3）表示，当x约为1米或10 ^ -7弧度（点1）时，几乎所有精度都会丢失：1-（10 ^ -7）^ 2 = 1-10 ^- 14是一种计算，其中15个有效数字中的前14个都被抵消，只剩下一个数字来表示结果。翻转此位置（这就是反余弦“ acos”的作用）意味着无法以任何有意义的精度来计算对应于米长度距离的角度的acos。 （在某些糟糕的情况下，精度损失会给出一个甚至未定义acos的值，因此代码将崩溃且不给出答案，无意义的答案或使机器崩溃。）类似的考虑因素建议您应避免使用反余弦值如果距离小于几百米，则取决于您愿意损失多少精度。

在原始的余弦定律公式中，acos扮演的角色是将角度转换为距离。在haversine公式中，atan2发挥了这一作用。小角度x的切线近似等于x本身。因此，近似于该数的数的反正切值基本上在精度上没有损失。这就是为什么Haversine公式虽然在数学上等效于余弦公式，但对于小距离（大约1米或更短），其优越性更高。

这是在地球上使用100个随机点对对这两个公式的比较（使用Mathematica的双精度计算）。

替代文字

您可以看到，对于小于约0.5米的距离，这两个公式会发散。在0.5米以上，他们倾向于达成共识。为了显示它们之间的接近程度，下图显示了余弦定律：haversine结果对另外100个随机点对的比率，它们的纬度和经度之间的随机差异最大为5米。

替代文字

这表明，一旦距离超过5-10米，余弦公式的法则就可以精确到小数点后3-4位。精度的小数位数增加了两倍；因此，在50-100米（一个数量级）上，您可以获得5-6 dp的精度（两个数量级）；在500-1000米处，您会得到7-8 dp，依此类推。

— ub
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是否有一些便宜的测试-例如delta latitude > .1 || delta longitude > .1，动态选择余弦（适用于较大）还是正弦（适用于较小距离）？为了获得最佳性能和良好的精度。
— 2013年
@ Anony-Mousse对于世界四分之一的距离，这两个公式都可能相差百分之一的十分之几，所以到那时我们就不会在精度上大惊小怪了！因此，任何能够将近点（几百米）与几乎完全相反的点（约2000万米）之间的所有东西区分开的测试就足够了。
— ub
会atan2带来数字收益asin吗？我看到了基准测试，它atan2比慢了2-3倍asin，我们也需要一秒钟sqrt。
— Erich Schubert
@Erich我还没有研究差异，但是请注意，这asin本质上是相同的acos，因此对于某些值（在这种情况下，对于1和-1左右的参数），精度也遭受相同的损失。原则atan2上没有这个问题。
— whuber
那会很远吗？然后将其与@ Anony-Mousse的建议结合起来似乎很有趣。
— Erich Schubert
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历史脚注：

Haversine是一种避免在计算中产生较大舍入误差的方法，例如

1 - cos(x)

当x小时。关于haversine，我们有

1 - cos(x) = 2*sin(x/2)^2
           = 2*haversin(x)

即使x很小，也可以精确计算2 * sin（x / 2）^ 2。

在过去，haversine公式具有避免加法的另一个优点（这需要进行反对数查找，加法和对数查找）。仅仅包含乘法的三角学公式被认为是“对数形式”。

如今，使用haversine公式有点过时了。角度x可能用sin(x)和表示cos(x)（并且x可能未明确知道）。在那种情况下，1 - cos(x)通过haversine公式进行计算需要反正切（获取角度x），减半（获取x/2），正弦（获取sin(x/2)），平方（获取sin(x/2)^2）和最终加倍。使用评估会更好

1 - cos(x) = sin(x)^2/(1 + cos(x))

这不需要三角函数的评估。（显然，只有在使用时，才使用右侧cos(x) > 0；否则，可以1 - cos(x)直接使用 。）

— ff
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余弦公式可以在一行中实现：

  Distance = acos(SIN(lat1)*SIN(lat2)+COS(lat1)*COS(lat2)*COS(lon2-lon1))*6371

Haversine公式包含多行：

  dLat = (lat2-lat1)
  dLon = (lon2-lon1)
  a = sin(dLat/2) * sin(dLat/2) + cos(lat1) * cos(lat2) * sin(dLon/2) * sin(dLon/2)
  distance = 6371 * 2 * atan2(sqrt(a), sqrt(1-a))

从数学上讲，它们是相同的，因此唯一的区别是实用性之一。

— 汤姆·W
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虽然原始的Haversine没有使用与计算机相关的atan2公式，但是没有什么可以阻止将上面的4行重写为一个公式。
— Arjan
@Arjan，真实的，但它是低效的，因为你需要计算一个两次。该公式必须同时包含Sqrt（a）和Sqrt（1-a），这是至关重要的，因为尽管其中之一对于很小或非常大的距离在数值上都是不稳定的，而对于另一个则不会：这就是使这种方法起作用的原因。
— whuber
的确，@ whuber，但我仍然怀疑行数是否会使我选择另一行。（就像您已经在回答中解释了您一样，有更多重要的理由赞成这一点。）
— Arjan
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@Arjan我同意。一个人的首要任务应该是为编程任务编写足够的代码。之后，我要说清楚：可读性，可维护性和素养的文档。在这种情况下，计算代码行数是没有意义的。
— Whuber
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atan2(sqrt(a), sqrt(1-a))与asin(sqrt(a))
— user102008 2011年
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