了解度数长度公式中的术语？

诸如http://www.csgnetwork.com/degreelenllavcalc.html（查看页面源代码）之类的在线计算器使用以下公式获取每度的米。我通常了解每度的距离如何随纬度位置而变化，但是我不明白这将如何转换为以下内容。更具体地说，常数，每个公式中的3个“ cos”项以及“ lat”的系数（2、4、6、3和5）从何而来？

    // Set up "Constants"
    m1 = 111132.92;     // latitude calculation term 1
    m2 = -559.82;       // latitude calculation term 2
    m3 = 1.175;         // latitude calculation term 3
    m4 = -0.0023;       // latitude calculation term 4
    p1 = 111412.84;     // longitude calculation term 1
    p2 = -93.5;         // longitude calculation term 2
    p3 = 0.118;         // longitude calculation term 3

    // Calculate the length of a degree of latitude and longitude in meters
    latlen = m1 + (m2 * Math.cos(2 * lat)) + (m3 * Math.cos(4 * lat)) +
            (m4 * Math.cos(6 * lat));
    longlen = (p1 * Math.cos(lat)) + (p2 * Math.cos(3 * lat)) +
                (p3 * Math.cos(5 * lat));

WGS84椭球体的主半径为a = 6378137米，其反展平度为f = 298.257223563，因此平方偏心率为

e2 = (2 - 1/f)/f = 0.0066943799901413165.

纬度phi的子午线曲率半径为

M = a(1 - e2) / (1 - e2 sin(phi)^2)^(3/2)

沿平行线的曲率半径为

N = a / (1 - e2 sin(phi)^2)^(1/2)

此外，平行线的半径为

r = N cos(phi)

这些是对M和N的球面值的乘法校正，它们都等于球面半径a，这是当e2 = 0时它们减小的值。

在北纬45度的黄点处，半径M的蓝色圆盘是子午线方向上的振荡（“亲吻”）圆，半径N的红色圆盘是在平行方向上的振荡圆（两个）光盘此时包含“向下”方向。这个数字夸大了地球的平坦度两个数量级。

曲率半径确定的程度的长度：当一个圆具有的半径- [R ，其长度为2 PIř盖360度的周界，从那里一个程度的长度为圆周率* R / 180代中号和- [R为- [R - -将M和r乘以pi / 180-给出度数长度的简单精确公式。

这些公式-仅基于给定的a和f值（可以在许多地方找到）以及将椭球体描述为旋转椭圆体-与问题中的计算结果相符，每分之0.6百万（几厘米），大约等于问题中最小系数的数量级，表示它们同意。（近似值总是有点低。）在图中，纬度长度的相对误差为黑色，而经度的相对误差为红色虚线：

因此，我们可以将问题中的计算理解为与上述公式近似（通过截断的三角级数）。

可以从M和r的傅立叶余弦级数计算出系数，作为纬度的函数。它们是根据e2 的椭圆函数给出的，在这里很难复制。对于WGS84球体，我的计算得出

  m1 = 111132.95255
  m2 = -559.84957
  m3 = 1.17514
  m4 = -0.00230
  p1 = 111412.87733
  p2 = -93.50412
  p3 = 0.11774
  p4 = -0.000165

（您可能会猜想如何p4输入公式。：）这些值与代码中的参数的接近程度证明了这种解释的正确性。这种改进的近似精确度要好于世界各地十亿分之一。

为了测试这个答案，我执行了R代码来执行两种计算：

#
# Radii of meridians and parallels on a spheroid.  Defaults to WGS84 meters.
# Input is latitude (in degrees).
#
radii <- function(phi, a=6378137, e2=0.0066943799901413165) {
  u <- 1 - e2 * sin(phi)^2
  return(cbind(M=(1-e2)/u, r=cos(phi)) * (a / sqrt(u))) 
}
#
# Approximate calculation.  Same interface (but no options).
#
m.per.deg <- function(lat) {
  m1 = 111132.92;     # latitude calculation term 1
  m2 = -559.82;       # latitude calculation term 2
  m3 = 1.175;         # latitude calculation term 3
  m4 = -0.0023;       # latitude calculation term 4
  p1 = 111412.84;     # longitude calculation term 1
  p2 = -93.5;         # longitude calculation term 2
  p3 = 0.118;         # longitude calculation term 3

  latlen = m1 + m2 * cos(2 * lat) + m3 * cos(4 * lat) + m4 * cos(6 * lat);
  longlen = p1 * cos(lat) + p2 * cos(3 * lat) + p3 * cos(5 * lat);
  return(cbind(M.approx=latlen, r.approx=longlen))
}
#
# Compute the error of the approximation `m.per.deg` compared to the 
# correct formula and plot it as a function of latitude.
#
phi <- pi / 180 * seq(0, 90, 10)
names(phi) <- phi * 180 / pi
matplot(phi * 180 / pi, 10^6 * ((m.per.deg(phi) - radii(phi) * pi / 180) / 
       (radii(phi) * pi / 180)),
        xlab="Latitude (degrees)", ylab="Relative error * 10^6",lwd=2, type="l")

的精确计算radii可用于打印度长表，如

zapsmall(radii(phi) * pi / 180)

输出以米为单位，看起来像这样（删除了一些行）：

          M         r
0  110574.3 111319.49
10 110607.8 109639.36
20 110704.3 104647.09
...
80 111659.9  19393.49
90 111694.0      0.00

参考文献

LM Bugayevskiy和JP Snyder，《地图投影-参考手册》。 Taylor＆Francis，1995年。（附录2和附录4）

JP Snyder，《地图投影-工作手册》。 USGS专业论文1395，1987年。（第3章）

那是Haversine公式，尽管用一种奇怪的方式表达。