为什么DFS和BFS的时间复杂度为O（V + E）

BFS的基本算法：

set start vertex to visited

load it into queue

while queue not empty

   for each edge incident to vertex

        if its not visited

            load into queue

            mark vertex

所以我认为时间复杂度是：

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges) 

v顶点1到哪里n

首先，我所说的正确吗？其次，这是如何的O(N + E)，以及关于其原因的直觉将非常好。谢谢

你的钱

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges)

可以改写成

(v1 + v2 + ... + vn) + [(incident_edges v1) + (incident_edges v2) + ... + (incident_edges vn)]

第一组是，O(N)而另一组是O(E)。

DFS（分析）：

• 设置/获取顶点/边缘标签需要花费O(1)时间
• 每个顶点被标记两次
  • 曾经是UNEXPLORED
  • 一次访问
• 每个边缘被标记两次
  • 曾经是UNEXPLORED
  • 一次作为DISCOVERY或BACK
• 每个顶点调用一次方法eventsEdges
• O(n + m)如果图表由邻接表结构表示，DFS将及时运行
• 回想起那个 Σv deg(v) = 2m

BFS（分析）：

• 设置/获取顶点/边标签需要O（1）时间
• 每个顶点被标记两次
  • 曾经是UNEXPLORED
  • 一次访问
• 每个边缘被标记两次
  • 曾经是UNEXPLORED
  • 一次作为发现或交叉
• 每个顶点一次插入到序列中 Li
• 每个顶点调用一次方法eventsEdges
• BFS O(n + m)及时运行，前提是该图由邻接表结构表示
• 回想起那个 Σv deg(v) = 2m

无需太多手续就可以非常简化：每个边缘被精确地视为两次，并且每个节点都被精确地处理一次，因此复杂性必须是边缘数量和顶点数量的恒定倍数。

时间复杂度O(E+V)不是O(2E+V)因为时间复杂度为n ^ 2 + 2n + 7，而是写为O（n ^ 2）。

因此，O（2E + V）被写为O（E + V）

因为n ^ 2和n之间的差异很重要，但n和2n之间的差异并不重要。

我认为每个边缘都被考虑了两次，每个节点都被访问了一次，因此总时间复杂度应为O（2E + V）。

对此的直观解释是仅分析一个循环：

1. 访问顶点-> O（1）
2. 所有入射边上的for循环-> O（e），其中e是入射在给定顶点v上的边数。

因此，单个循环的总时间为O（1）+ O（e）。现在对每个顶点求和，因为每个顶点都被访问了一次。这给

For every V
=> 

    O(1)
    +

    O(e)

=> O(V) + O(E)

简短但简单的说明：

在最坏的情况下，您需要访问所有顶点和边，因此最坏情况下的时间复杂度为O（V + E）