使用epsilon比较双零

今天，我浏览了一些C ++代码（由其他人编写），发现了这一部分：

double someValue = ...
if (someValue <  std::numeric_limits<double>::epsilon() && 
    someValue > -std::numeric_limits<double>::epsilon()) {
  someValue = 0.0;
}

我试图弄清楚这是否有意义。

文档epsilon()说明：

该函数返回1与大于1的最小值之间的差，该差可表示[双精度数]。

这是否也适用于0，即epsilon()最小值是否大于0？或者在其间数0和0 + epsilon可以由代表double？

如果不是，那么比较不等于someValue == 0.0？

假设64位IEEE加倍，则有一个52位尾数和11位指数。让我们将其细分为：

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 × 2^0 = 1

最小可表示数字，大于1：

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000001 × 2^0 = 1 + 2^-52

因此：

epsilon = (1 + 2^-52) - 1 = 2^-52

0和epsilon之间是否有数字？大量...例如，最小可表示的正数（正常）为：

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 × 2^-1022 = 2^-1022

实际上，(1022 - 52 + 1)×2^52 = 4372995238176751616数字介于0和epsilon之间，占所有可表示的正数的47％...

测试当然与相同someValue == 0。浮点数的整体思想是，它们存储指数和有效位数。因此，它们代表具有一定数量的二进制有效数字的值（在IEEE double情况下为53）。可表示的值在0附近比在1附近更加密集。

要使用更熟悉的十进制系统，假设您存储带有指数的十进制值“至4个有效数字”。那么接下来的表示值大于1是1.001 * 10^0，和epsilon是1.000 * 10^-3。但是1.000 * 10^-4也可以表示，假设指数可以存储-4。您可以相信，IEEE double 可以存储小于的指数epsilon。

您不能仅通过此代码来判断是否epsilon专门将其用作边界是否有意义，您需要查看上下文。可能是对epsilon产生的计算中的错误的合理估计someValue，也可能不是。

在0和epsilon之间存在数字，因为epsilon是1与可以在1上方表示的下一个最高数字之间的差，而不是0与可以在0上方表示的下一个最高数字之间的差（如果是，则代码会做的很少）：-

#include <limits>

int main ()
{
  struct Doubles
  {
      double one;
      double epsilon;
      double half_epsilon;
  } values;

  values.one = 1.0;
  values.epsilon = std::numeric_limits<double>::epsilon();
  values.half_epsilon = values.epsilon / 2.0;
}

使用调试器，在main末尾停止程序并查看结果，您将看到epsilon / 2与epsilon，零和一是不同的。

因此，此函数采用+/-ε之间的值并使它们为零。

可以用以下程序打印数字（1.0、0.0，...）附近的ε近似值（尽可能小的差异）。它输出以下输出：
epsilon for 0.0 is 4.940656e-324
epsilon for 1.0 is 2.220446e-16
一点思考就清楚了，我们用来查看其epsilon值的数字越小，epsilon就会变得越小，因为指数可以调整该数字的大小。

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
double getEps (double m) {
  double approx=1.0;
  double lastApprox=0.0;
  while (m+approx!=m) {
    lastApprox=approx;
    approx/=2.0;
  }
  assert (lastApprox!=0);
  return lastApprox;
}
int main () {
  printf ("epsilon for 0.0 is %e\n", getEps (0.0));
  printf ("epsilon for 1.0 is %e\n", getEps (1.0));
  return 0;
}

假设我们正在使用适合16位寄存器的玩具浮点数。有一个符号位，一个5位指数和一个10位尾数。

该浮点数的值是尾数，被解释为二进制十进制值，乘以指数幂的两倍。

约1的指数等于零。因此，尾数的最小位数为1024的一位。

接近1/2的指数为负一，因此尾数的最小部分为一半。用五位指数可以达到负16，这时尾数的最小部分相当于32m的一部分。在16指数为负时，该值约为32k的一分之一，比我们上面计算的约一的epsilon更接近零！

现在，这是一个玩具浮点模型，它不能反映真实浮点系统的所有异常，但是反射小于epsilon的值的能力与真实浮点值相当相似。

的差值X与下一个值之差X根据决定X。
epsilon()只是和之间1的差值1。
与之间0的差值0不是epsilon()。

相反，您可以使用std::nextafter来比较double值，0如下所示：

bool same(double a, double b)
{
  return std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::lowest()) <= b
    && std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::max()) >= b;
}

double someValue = ...
if (same (someValue, 0.0)) {
  someValue = 0.0;
}

我认为这取决于计算机的精度。看一下这张表：您可以看到，如果您的epsilon用double表示，但是您的精度更高，则比较结果不等于

someValue == 0.0

反正是个好问题！

由于尾数和指数部分，您不能将其应用于0。由于指数的原因，您只能存储很少的数字，该数字小于epsilon，但是当您尝试执行类似（1.0-“非常小的数字”）的操作时，您将得到1.0。Epsilon并非指标，而是指标精度（以尾数表示）。它显示了我们可以存储多少个正确的数字位数。

对于IEEE浮点数，在最小的非零正值和最小的非零负值之间，存在两个值：正零和负零。测试一个值是否在最小的非零值之间等同于测试零是否相等。但是，赋值可能会产生影响，因为它会将负零更改为正零。

可以想象，浮点格式可能在最小的有限正值和负值之间具有三个值：正无穷小，无符号零和负无穷小。我不熟悉实际上以这种方式工作的任何浮点格式，但是这样的行为将是完全合理的并且可以说比IEEE更好（也许不足以值得增加额外的硬件来支持它，但是从数学上讲1） /（1 / INF），1 /（-1 / INF）和1 /（1-1）应该表示三种不同的情况，说明了三个不同的零）。我不知道是否有任何C标准会强制要求签名的无穷小数（如果存在）必须比较等于零。如果不这样做，则上述代码可以有效地确保例如

因此，假设系统无法区分1.000000000000000000000和1.000000000000000000001。即1.0和1.0 + 1e-20。您是否认为-1e-20和+ 1e-20之间仍有一些值可以表示？

同样，具有此功能的一个很好的理由是消除“异常”（那些很小的数字，它们不再可以使用隐含的前导“ 1”并具有特殊的FP表示形式）。你为什么想做这个？因为某些机器（特别是某些较旧的Pentium 4s）在处理异常时会变得非常非常慢。其他人则变慢一些。如果您的应用程序确实不需要这些非常小的数字，则将它们刷新为零是一个很好的解决方案。考虑这一点的好地方是所有IIR滤波器或衰减函数的最后一步。

另请参阅：为什么将0.1f更改为0会使性能降低10倍？

和http://en.wikipedia.org/wiki/Denormal_number