如何在C或C ++中按照正态分布轻松生成随机数？

我不想使用Boost。

我知道Knuth详细讨论了这个问题，但是我现在没有他的书。

有许多方法可以从常规RNG生成高斯分布数。

该箱穆勒变换是常用的。它会正确产生具有正态分布的值。数学很简单。您生成两个（均匀）随机数，然后对它们应用公式，就得到两个正态分布的随机数。返回一个，并将另一个保存为下一个随机数请求。

C ++ 11

C ++ 11提供了std::normal_distribution，这就是我今天要去的方式。

C或更旧的C ++

以下是一些按升序排列的解决方案：

1. 将0到1之间的12个均匀随机数相加并减去6。这将与正常变量的均值和标准差相匹配。一个明显的缺点是范围限制为±6，这与真实的正态分布不同。

2. Box-Muller变换。这已在上面列出，并且实现起来相对简单。但是，如果您需要非常精确的样本，请注意，将Box-Muller变换与某些均匀生成器结合使用会遇到一个称为Neave Effect ¹的异常现象。

3. 为了获得最佳精度，我建议绘制制服并应用逆累积正态分布以得出正态分布变量。这是逆累积正态分布的很好算法。

^{1. HR Neave，“关于将Box-Muller变换与乘法同余伪随机数生成器一起使用”，《应用统计》，1973年第22、92-97页}

一种快速简便的方法是将多个均匀分布的随机数求和并取其平均值。有关为何有效的完整说明，请参见中心极限定理。

我为正态分布的随机数生成基准创建了一个C ++开源项目。

它比较了几种算法，包括

• 中心极限定理
• Box-Muller变换
• 马尔萨里亚极地法
• Ziggurat算法
• 逆变换采样方法。
• cpp11randomstd::normal_distribution与C ++ 11 配合使用std::minstd_rand（实际上是clang中的Box-Muller转换）。

float在iMac Corei5-3330S @ 2.70GHz，clang 6.1、64位上的单精度（）版本的结果：

为了正确起见，程序将验证样本的平均值，标准偏差，偏度和峰度。已经发现，通过将4、8或16个统一数相加得到的CLT方法不具有其他方法的峰度。

Ziggurat算法具有比其他算法更好的性能。但是，它不适合SIMD并行性，因为它需要表查找和分支。具有SSE2 / AVX指令集的Box-Muller比ziggurat算法的非SIMD版本要快得多（x1.79，x2.99）。

因此，我建议将Box-Muller用于具有SIMD指令集的体系结构，否则可能是之字形。

PS基准测试使用最简单的LCG PRNG生成统一的分布式随机数。因此，对于某些应用程序可能还不够。但是性能比较应该是公平的，因为所有实现都使用相同的PRNG，因此基准测试主要测试转换的性能。

这是一个基于某些参考的C ++示例。这既快速又肮脏，最好不要重新发明和使用Boost库。

#include "math.h" // for RAND, and rand
double sampleNormal() {
    double u = ((double) rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;
    double v = ((double) rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;
    double r = u * u + v * v;
    if (r == 0 || r > 1) return sampleNormal();
    double c = sqrt(-2 * log(r) / r);
    return u * c;
}

您可以使用QQ图来检查结果，并查看其与真实正态分布的近似程度（对样本1..x进行排名，将等级转换为x总数的比例，即有多少样本获得z值并绘制它们。向上的直线是理想的结果）。

使用std::tr1::normal_distribution。

std :: tr1命名空间不是boost的一部分。它是包含C ++技术报告1中的库添加内容的名称空间，并且可以独立于boost使用最新的Microsoft编译器和gcc。

这是在现代C ++编译器上生成样本的方式。

#include <random>
...
std::mt19937 generator;
double mean = 0.0;
double stddev  = 1.0;
std::normal_distribution<double> normal(mean, stddev);
cerr << "Normal: " << normal(generator) << endl;

您可以使用GSL。给出了一些完整的示例来演示如何使用它。

看一下：http : //www.cplusplus.com/reference/random/normal_distribution/。这是产生正态分布的最简单方法。

如果您使用的是C ++ 11，则可以使用std::normal_distribution：

#include <random>

std::default_random_engine generator;
std::normal_distribution<double> distribution(/*mean=*/0.0, /*stddev=*/1.0);

double randomNumber = distribution(generator);

您可以使用许多其他分布来转换随机数引擎的输出。

我遵循了http://www.mathworks.com/help/stats/normal-distribution.html中提供的PDF的定义，并提出了以下内容：

const double DBL_EPS_COMP = 1 - DBL_EPSILON; // DBL_EPSILON is defined in <limits.h>.
inline double RandU() {
    return DBL_EPSILON + ((double) rand()/RAND_MAX);
}
inline double RandN2(double mu, double sigma) {
    return mu + (rand()%2 ? -1.0 : 1.0)*sigma*pow(-log(DBL_EPS_COMP*RandU()), 0.5);
}
inline double RandN() {
    return RandN2(0, 1.0);
}

这可能不是最好的方法，但是很简单。

该comp.lang.c常见问题列表股三种不同的方式，容易产生高斯分布随机数。

您可以看一下：http : //c-faq.com/lib/gaussian.html

Box-Muller实施：

#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
using namespace std;
 // return a uniformly distributed random number
double RandomGenerator()
{
  return ( (double)(rand()) + 1. )/( (double)(RAND_MAX) + 1. );
}
 // return a normally distributed random number
double normalRandom()
{
  double y1=RandomGenerator();
  double y2=RandomGenerator();
  return cos(2*3.14*y2)*sqrt(-2.*log(y1));
}

int main(){
double sigma = 82.;
double Mi = 40.;
  for(int i=0;i<100;i++){
double x = normalRandom()*sigma+Mi;
    cout << " x = " << x << endl;
  }
  return 0;
}

存在用于逆累积正态分布的各种算法。在http://chasethedevil.github.io/post/monte-carlo--inverse-cumulative-normal-distribution/上测试了数量最多的量化金融

在我看来，除了使用Wichura的AS241算法之外，没有太多动机去使用其他东西：机器精度高，可靠且快速。在高斯随机数生成中，瓶颈很少出现。

此外，它还显示了类似Ziggurat方法的缺点。

Box-Müller的倡导者在这里是最好的答案，您应该意识到它具有已知的缺陷。我引用https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0895717710005935：

在文献中，Box-Muller有时被认为稍逊一筹，主要有两个原因。首先，如果将Box-Muller方法应用于不良线性同余生成器中的数字，则转换后的数字将提供极差的空间覆盖率。在许多书中都可以找到带有螺旋尾巴的变换后的数字图，最著名的是里普利的经典书，他可能是第一位进行此观察的人。”

1）使用类似于蒙特卡洛方法的方法，可以直观地生成高斯随机数。您将使用C中的伪随机数生成器在高斯曲线周围的框中生成一个随机点。您可以使用分布方程式计算该点是在高斯分布内部还是下方。如果该点在高斯分布内，那么您将获得高斯随机数作为该点的x值。

这种方法并不完美，因为从技术上讲，高斯曲线会朝着无穷大方向前进，并且您无法创建一个在x维度上接近无穷大的框。但是，高斯曲线在y维度上非常快地接近0，因此我不必为此担心。C语言中变量大小的约束可能更多地限制了您的准确性。

2）另一种方法是使用中央极限定理，该定理指出当添加独立随机变量时，它们形成正态分布。牢记这个定理，您可以通过添加大量独立的随机变量来近似高斯随机数。

这些方法不是最实用的方法，但是当您不想使用预先存在的库时，这是可以预期的。请记住，这个答案来自没有或没有微积分或统计经验的人。

蒙特卡洛方法 最直观的方法是使用蒙特卡洛方法。取一个合适的范围-X，+ X。X的值越大，将导致更准确的正态分布，但收敛时间越长。一个。在-X到X之间选择一个随机数z。保持N(z, mean, variance)N 在哪里是高斯分布的可能性。否则放回步骤（a）。

看看我发现了什么。

该库使用Ziggurat算法。

计算机是确定性设备。计算中没有随机性。此外，CPU中的算术设备可以评估一些有限的整数集（在有限域中执行评估）和有限的实有理数集。并且还执行了按位运算。数学可以处理更多无穷大的集合，例如[0.0，1.0]。

您可以使用某些控制器收听计算机内部的某些电线，但是它的分布均匀吗？我不知道。但是，如果假设信号是累积大量独立随机变量值的结果，那么您将收到近似正态分布的随机变量（概率论中已证明）

存在称为“伪随机发生器”的算法。如我所见，伪随机发生器的目的是模拟随机性。Goodnes的标准是：-经验分布已收敛（从某种意义上说是逐点均匀L2）到理论上-从随机生成器收到的值似乎是独立的。从“真实的观点”来看，这当然是不正确的，但我们认为这是正确的。

一种流行的方法-您可以求和具有均匀分布的12个irv ....但是老实说，在使用傅立叶变换，泰勒级数进行推导中心极限定理时，它需要两次n-> + inf个假设。因此，例如从理论上讲-就我个人而言，我不理解人们如何以均匀分布执行12 irv的求和。

我在大学里有能力理论。对我来说，这尤其是一个数学问题。在大学里，我看到了以下模型：

double generateUniform(double a, double b)
{
  return uniformGen.generateReal(a, b);
}

double generateRelei(double sigma)
{
  return sigma * sqrt(-2 * log(1.0 - uniformGen.generateReal(0.0, 1.0 -kEps)));
}
double generateNorm(double m, double sigma)
{
  double y2 = generateUniform(0.0, 2 * kPi);
  double y1 = generateRelei(1.0);
  double x1 = y1 * cos(y2);
  return sigma*x1 + m;
}

这样的方式只是一个例子，我想它是实现它的另一种方式。

证明正确的证据可以在克里希琴科·亚历山大·彼得罗维奇（ Krishchenko Alexander Petrovich）的书“莫斯科，BMSTU，2004年：XVI概率论，示例6.12，第246-247页”中找到，ISBN 5-7038-2485-0

不幸的是，我不知道这本书有没有翻译成英文。