Eratosthenes算法的筛选时间复杂度

从维基百科：

该算法的复杂性是 O(n(logn)(loglogn))位运算。

你怎么到达的？

包含loglogn术语的复杂性告诉我在sqrt(n)某处。

假设我在前100个数字（n = 100）上运行筛子，假设将数字标记为复合数字需要固定的时间（数组实现），那么我们使用的次数mark_composite()将类似于

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... + n/97        =      O(n^2)                         

并且要查找下一个质数（例如，7在除掉所有倍数为的数字后跳至5），操作数将为O(n)。

因此，复杂度为O(n^3)。你同意吗？

1. 您的n / 2 + n / 3 + n / 5 +…n / 97不是O（n），因为项数不是常数。[编辑后编辑：O（n ²）的上限太宽松。]宽松的上限是n（1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +… 1 / n）（不超过n 的所有数字的倒数之和），即O（n log n）：请参见谐波数。一个更合适的上限是n（1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…），即最高达n的质数的倒数之和，即O（n log log n）。（请参阅此处或此处。）

2. 总的来说，“查找下一个质数”位仅为O（n），摊销后 –您将总共只查找n次下一个数，而不是逐步查找。因此，算法的整个部分仅需O（n）。

因此，使用这两个，可以得到O（n log log n）+ O（n）= O（n log log n）算术运算的上限。如果您对位运算进行计数，则由于您要处理的数字最多为n，因此它们大约有log n位，这就是log n的因数，从而给出O（n log n log log n）位运算。

复杂度包括loglogn项，这告诉我某处有一个sqrt（n）。

请记住，在P筛分时发现质数时，您不会在当前位置+上开始相除P；您实际上开始在处舍弃数字P^2。P小于的所有倍数P^2将被以前的质数相除。

1. 内部循环执行n/i步骤，其中i素数=>整个复杂度为sum(n/i) = n * sum(1/i)。根据素数谐波序列，素数在sum (1/i)哪里。总计。ilog (log n)O(n*log(log n))

2. 我认为可以通过替换来优化上层循环n，sqrt(n)因此总体时间复杂度将为O(sqrt(n)loglog(n))：

   void isprime(int n)
   {
       int prime[n],i,j,count1=0;
       for(i=0;i<n;i++)
       {
          prime[i]=1;
       }
       prime[0]=prime[1]=0;
       for(i=2;i<=n;i++)
       {
           if(prime[i]==1)
           {
               printf("%d ",i);
               for(j=2;(i*j)<=n;j++)
                   prime[i*j]=0;
           }
       }    
   }
   

参见上面的解释，内循环是所有素数的平方和，直到sqrt（n）。因此，的实际复杂度为O（sqrt（n）* log（log（sqrt（n））））