为什么多次添加0.1仍然无损？

我知道0.1十进制数不能用有限的二进制数精确地表示（解释），因此double n = 0.1将失去一些精度，并且将不精确0.1。另一方面，0.5因为它确实可以表示0.5 = 1/2 = 0.1b。

话虽如此，将0.1 三遍相加并不完全是可以理解的，0.3因此，以下代码将输出false：

double sum = 0, d = 0.1;
for (int i = 0; i < 3; i++)
    sum += d;
System.out.println(sum == 0.3); // Prints false, OK

但是，0.1 五次相加会得到确切的结果0.5呢？以下代码显示true：

double sum = 0, d = 0.1;
for (int i = 0; i < 5; i++)
    sum += d;
System.out.println(sum == 0.5); // Prints true, WHY?

如果0.1不能精确表示，将其相加5次给出的精确0.5表示又如何呢？

舍入误差不是随机的，并且它的实现方式会尝试使误差最小化。这意味着有时错误是不可见的，或者没有错误。

例如0.1是不完全0.1，即new BigDecimal("0.1") < new BigDecimal(0.1)，但0.5也正是1.0/2

该程序向您显示所涉及的真实价值。

BigDecimal _0_1 = new BigDecimal(0.1);
BigDecimal x = _0_1;
for(int i = 1; i <= 10; i ++) {
    System.out.println(i+" x 0.1 is "+x+", as double "+x.doubleValue());
    x = x.add(_0_1);
}

版画

0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625, as double 0.1
0.2000000000000000111022302462515654042363166809082031250, as double 0.2
0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875, as double 0.30000000000000004
0.4000000000000000222044604925031308084726333618164062500, as double 0.4
0.5000000000000000277555756156289135105907917022705078125, as double 0.5
0.6000000000000000333066907387546962127089500427246093750, as double 0.6000000000000001
0.7000000000000000388578058618804789148271083831787109375, as double 0.7000000000000001
0.8000000000000000444089209850062616169452667236328125000, as double 0.8
0.9000000000000000499600361081320443190634250640869140625, as double 0.9
1.0000000000000000555111512312578270211815834045410156250, as double 1.0

注意：这0.3略有偏离，但是当您到达0.4位时，必须将其下移一位以适应53位的限制，并且错误将被丢弃。再次，一个错误蠕变回来为0.6和0.7，但对于0.8给1.0错误被丢弃。

将其添加5次应该累积错误，而不是取消错误。

出现错误的原因是由于精度有限。即53位。这意味着随着数字变大，数字将使用更多位，因此必须从末尾丢弃位。这会导致舍入，这种情况下对您有利。
当获得较小的数字（例如0.1-0.0999=>）时，您会得到相反的效果，1.0000000000000286E-4 并且看到的错误比以前更多。

这样的一个例子就是为什么在Java 6 中Math.round（0.49999999999999994）为什么返回1的原因，在这种情况下，计算中的一点损失会导致答案大不相同。

禁止溢出（以浮点数计x + x + x）恰好是正确舍入（即最接近）到实数3 *的浮点数x，x + x + x + x正好是4 * x，并且x + x + x + x + x还是5 *的正确舍入的浮点近似值x。

for的第一个结果x + x + x来自x + x确切的事实。x + x + x因此，仅是四舍五入的结果。

第二个结果比较困难，这里讨论一个证明（斯蒂芬·佳能暗示了对的最后三位数字进行案例分析的另一种证明x）。总而言之，3 * 与2 * x处于同一binade或3 * x与4 *处于相同binade x，并且在每种情况下都可以推断出第三次加法的错误抵消了第二次加法的错误（就像我们已经说过的那样，第一次添加是准确的。

第三个结果“ x + x + x + x + x正确舍入” 是从第二个结果中得出的，与第一个结果是由的正确性得出的相同x + x。

第二个结果解释了为什么0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1恰好是浮点数0.4：将有理数1/10和4/10转换为浮点时，以相同的方式近似，具有相同的相对误差。这些浮点数之间的比率恰好为4。第一个和第三个结果表明0.1 + 0.1 + 0.1和0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1可以预期比纯朴的错误分析所推断的错误要少，但是，它们本身仅将结果分别3 * 0.1与和关联5 * 0.1，可以预期接近，但不一定与相同。0.3和0.5。

如果您0.1在第四次加法之后继续加法，您将最终观察到舍入错误，这些错误使“ 0.1自身加n次”偏离n * 0.1，甚至偏离n / 10甚至更​​多。如果您将“ n次添加到自身的0.1次”的值绘制为n的函数，则您将观察到由Binade构成的恒定斜率线（一旦第n次加法的结果注定会落入特定Binade中，可以预期，添加的属性与以前在相同binade中产生结果的添加类似。在同一个binade中，误差将增大或减小。如果您要查看从Binade到Binade的坡度顺序，您会发现的重复数字0.1以二进制形式存在一段时间。在那之后，吸收将开始发生并且曲线将变得平坦。

浮点系统具有各种神奇的功能，其中包括一些舍入精度。因此，由于不精确表示0.1而产生的非常小的误差最终四舍五入为0.5。

认为浮点数是一种很好的但不精确的数字表示方式。并非所有可能的数字都可以在计算机中轻松表示。非理性数字，例如PI。或像SQRT（2）。（符号数学系统可以表示它们，但我确实说“轻松”。）

浮点值可能非常接近，但并不精确。它可能太近了，您可以导航到Pluto并偏离毫米。但是从数学意义上讲仍然不是精确的。

当您需要精确而不是近似值时，请勿使用浮点数。例如，会计应用程序希望准确跟踪帐户中一定数目的便士。整数对此很有用，因为它们是精确的。您需要注意的整数问题是溢出。

对货币使用BigDecimal效果很好，因为基础表示形式是整数，尽管很大。

认识到浮点数是不精确的，它们仍然有很多用途。用于导航的坐标系或图形系统中的坐标。天文价值。科学价值观。（无论如何，您可能都不知道棒球的确切质量在电子的质量之内，因此不精确并不重要。）

对于计数应用程序（包括会计），请使用整数。要计算通过大门的人数，请使用int或long。