在有向图中检测周期的最佳算法

检测有向图内所有周期的最有效算法是什么？

我有一个有向图，表示需要执行的作业计划，作业是一个节点，而依赖项是一个边缘。我需要检测此图中导致循环依赖性的循环的错误情况。

Tarjan的强连接组件算法具有O(|E| + |V|)时间复杂性。

有关其他算法，请参阅Wikipedia上的牢固连接的组件。

鉴于这是一份工作时间表，我怀疑您有时会进行排序它们按建议的执行顺序。

如果是这样，则拓扑排序实现无论如何都可以检测到周期。UNIX tsort当然可以。我认为，因此有可能在tsorting的同时而不是在单独的步骤中更有效地检测周期。

因此问题可能变成“我如何最有效地进行排序”，而不是“我如何最有效地检测循环”。答案可能是“使用图书馆”，但未能获得以下维基百科文章：

http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting

包含一种算法的伪代码，以及来自Tarjan的另一种算法的简短描述。两者都有O(|V| + |E|)时间复杂性。

最简单的方法是对图形进行深度优先遍历（DFT）。

如果图具有n顶点，则这是O(n)时间复杂度算法。由于您可能必须从每个顶点开始进行DFT，因此总复杂度变为O(n^2)。

您必须维护一个堆栈，该堆栈包含当前深度优先遍历的所有顶点，并且其第一个元素为根节点。如果您在DFT期间遇到了已经在堆栈中的元素，那么您就有一个循环。

根据Cormen等人的引理22.11，算法简介（CLRS）：

当且仅当深度优先搜索G不产生后边缘时，有向图G是非循环的。

在几个答案中已经提到了这一点。在这里，我还将基于CLRS的第22章提供一个代码示例。示例图如下所示。

CLRS的深度优先搜索伪代码为：

在CLRS图22.4中的示例中，该图由两个DFS树组成：一个由节点u，v，x和y组成，另一个由节点w和z组成。每棵树都包含一个后边缘：一个从x到v，另一个从z到z（自环）。

关键的实现是，当在DFS-VISIT函数中遍历的邻居v时u，在节点上遇到节点时会遇到后边缘。GRAY颜色。

以下Python代码是对CLRS伪代码的改编，if其中添加了用于检测周期的子句：

import collections


class Graph(object):
    def __init__(self, edges):
        self.edges = edges
        self.adj = Graph._build_adjacency_list(edges)

    @staticmethod
    def _build_adjacency_list(edges):
        adj = collections.defaultdict(list)
        for edge in edges:
            adj[edge[0]].append(edge[1])
        return adj


def dfs(G):
    discovered = set()
    finished = set()

    for u in G.adj:
        if u not in discovered and u not in finished:
            discovered, finished = dfs_visit(G, u, discovered, finished)


def dfs_visit(G, u, discovered, finished):
    discovered.add(u)

    for v in G.adj[u]:
        # Detect cycles
        if v in discovered:
            print(f"Cycle detected: found a back edge from {u} to {v}.")

        # Recurse into DFS tree
        if v not in finished:
            dfs_visit(G, v, discovered, finished)

    discovered.remove(u)
    finished.add(u)

    return discovered, finished


if __name__ == "__main__":
    G = Graph([
        ('u', 'v'),
        ('u', 'x'),
        ('v', 'y'),
        ('w', 'y'),
        ('w', 'z'),
        ('x', 'v'),
        ('y', 'x'),
        ('z', 'z')])

    dfs(G)

请注意，在此示例中， time未捕获in CLRS的伪代码，因为我们仅对检测周期感兴趣。还有一些样板代码，用于从边列表中构建图的邻接列表表示。

执行此脚本后，它将输出以下输出：

Cycle detected: found a back edge from x to v.
Cycle detected: found a back edge from z to z.

这些正是CLRS图22.4中示例的后边缘。

从DFS开始：只有当在DFS期间发现后端时，才会存在一个循环。这是白径定理的结果。

在我看来，用于检测有向图中循环的最容易理解的算法是图着色算法。

基本上，图着色算法以DFS方式遍历图（“深度优先搜索”，这意味着它在探索另一条路径之前先完全探索一条路径）。当找到后边缘时，它将图形标记为包含循环。

有关图形着色算法的深入说明，请阅读以下文章：http : //www.geeksforgeeks.org/detect-cycle-direct-graph-using-colors/

此外，我在JavaScript中提供了图形着色的实现https://github.com/dexcodeinc/graph_algorithm.js/blob/master/graph_algorithm.js

如果无法向节点添加“已访问”属性，请使用集合（或映射），仅将所有已访问的节点添加到集合中，除非它们已在集合中。使用唯一键或对象地址作为“键”。

这也为您提供有关循环依赖项的“根”节点的信息，当用户必须解决该问题时，该信息将派上用场。

另一个解决方案是尝试找到下一个要执行的依赖项。为此，您必须具有一些堆栈，您可以在其中记住您现在所在的位置以及下一步需要做什么。执行依赖之前，请检查该堆栈上是否已存在依赖项。如果是这样，那么您已经找到一个周期。

尽管这似乎具有O（N * M）的复杂度，但您必须记住，堆栈的深度非常有限（因此N很小），并且每个依赖项的M都会变小，您可以将其检查为“已执行”加你可以停止搜索，当你发现一个叶（所以你永远要检查每一个节点- > M将是小的，太）。

在MetaMake中，我将图形创建为列表列表，然后在执行它们时删除了每个节点，这自然减少了搜索量。实际上，我从来不需要运行独立的检查，而是在正常执行期间自动进行所有检查。

如果需要“仅测试”模式，只需添加“空运行”标志，该标志将禁用实际作业的执行。

没有一种算法可以在多项式时间内找到有向图中的所有循环。假设有向图有n个节点，并且每对节点之间都有相互连接，这意味着您有一个完整的图。因此，这n个节点的任何非空子集都表示一个周期，并且此类子集的数量为2 ^ n-1。因此，不存在多项式时间算法。因此，假设您有一个有效的（非愚蠢的）算法，该算法可以告诉您图中的有向循环数，则可以先找到强连接的组件，然后将算法应用于这些连接的组件。由于循环仅存在于组件内部，而不存在于组件之间。

我已经在sml（命令式编程）中实现了这个问题。这是大纲。查找入度或出度为0的所有节点。这样的节点不能成为循环的一部分（因此请删除它们）。接下来，从此类节点中删除所有传入或传出边缘。将这个过程递归地应用于结果图。如果最后没有剩下任何节点或边，则该图没有任何循环，否则就没有。

我这样做的方法是进行拓扑排序，计算访问的顶点数量。如果该数目小于DAG中的顶点总数，则您有一个循环。

/mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length我最喜欢这种解决方案，特别适合4种长度：）

此外，phys向导还说您必须执行O（V ^ 2）。我相信我们只需要O（V）/ O（V + E）。如果该图已连接，则DFS将访问所有节点。如果图具有连接的子图，则每次我们在该子图的顶点上运行DFS时，我们都将找到连接的顶点，并且在下次运行DFS时不必考虑这些顶点。因此，为每个顶点运行的可能性是不正确的。

如果DFS找到指向已访问顶点的边，则在那里存在一个循环。

如您所说，您有一组作业，需要按一定顺序执行。Topological sort给定您所需的工作安排顺序（如果是，则解决依赖问题direct acyclic graph）。运行dfs并维护一个列表，如果遇到已经访问过的节点，则开始在列表的开头添加节点。然后，您在给定图中找到了一个循环。

如果图满足此属性

|e| > |v| - 1

那么该图至少包含周期。