Monads作为附件

我一直在阅读类别理论中的单子。对monad的一个定义是使用一对伴随函子。一个单子通过使用这些函子的往返来定义。显然，附加语在范畴论中非常重要，但是我还没有看到关于伴随函子对Haskell monads的任何解释。有没有人想过？

编辑：只是为了好玩，我会做正确的。原始答案保留在下面

现在，类别扩展的当前附加代码位于附加程序包中：http : //hackage.haskell.org/package/adjunctions

我将简单明了地通过状态monad进行工作。这段代码Data.Functor.Compose是在Transformers软件包中使用的，但是它是自包含的。

f（D-> C）和g（C-> D）之间的附加词，写为f-| g，可以通过多种方式表征。我们将使用counit / unit（epsilon / eta）描述，该描述给出了两个自然变换（函子之间的同构）。

class (Functor f, Functor g) => Adjoint f g where
     counit :: f (g a) -> a
     unit   :: a -> g (f a)

请注意，单位中的“ a”实际上是C中的身份函子，单位中的“ a”实际上是D中的身份函子。

我们还可以从单位/单位定义中恢复hom-set附加定义。

phiLeft :: Adjoint f g => (f a -> b) -> (a -> g b)
phiLeft f = fmap f . unit

phiRight :: Adjoint f g => (a -> g b) -> (f a -> b)
phiRight f = counit . fmap f

无论如何，我们现在都可以像这样从我们的单位/联合附属中定义一个Monad：

instance Adjoint f g => Monad (Compose g f) where
    return x = Compose $ unit x
    x >>= f  = Compose . fmap counit . getCompose $ fmap (getCompose . f) x

现在我们可以实现（a，）和（a->）之间的经典附加词：

instance Adjoint ((,) a) ((->) a) where
    -- counit :: (a,a -> b) -> b
    counit (x, f) = f x
    -- unit :: b -> (a -> (a,b))
    unit x = \y -> (y, x)

现在是类型的同义词

type State s = Compose ((->) s) ((,) s)

如果将其加载到ghci中，我们可以确认State正是我们的经典state monad。请注意，我们可以采用相反的组成并获得Costate Comonad（又名comonad商店）。

我们还可以通过这种方式将其他附加词做成单子（例如（Bool，）Pair），但它们却是一种奇怪的单子。不幸的是，我们无法以令人愉快的方式直接在Haskell中进行诱导Reader和Writer的附加操作。我们可以做Cont，但是正如copumpkin所描述的，这需要来自相反类别的附加语，因此它实际上使用了“ Adjoint”类型类的另一个“形式”，它使一些箭头反向。该形式还可以在附加程序包的其他模块中实现。

德里克·埃尔金斯（Derek Elkins）在《 Monad Reader 13-用范畴论计算单子》中的文章以不同的方式介绍了该材料：http : //www.haskell.org/wikiupload/8/85/TMR-Issue13.pdf

另外，Hinze最近在“ Kan Extensions for Program Optimization”一文中还通过Mon和之间的附加内容逐步构建了列表monad Set：http : //www.cs.ox.ac.uk/ralf.hinze/Kan.pdf

旧答案：

两个参考。

1）范畴扩展一如既往地提供了附加词及其从中产生的单子的表示。和往常一样，最好考虑一下，但对文档的要求很轻：http : //hackage.haskell.org/packages/archive/category-extras/0.53.5/doc/html/Control-Functor-Adjunction.html

2）-咖啡馆还对附属的作用进行了有希望的但简短的讨论。其中一些可能有助于解释类别引伸：http : //www.haskell.org/pipermail/haskell-cafe/2007-December/036328.html

德里克·埃尔金斯（Derek Elkins）最近在晚餐时向我展示了Cont Monad是如何通过将(_ -> k)自反函子与自身组合而产生的，因为它恰好是自伴的。这就是您摆脱(a -> k) -> k困境的方式。但是，它的协同作用会导致双重否定消除，这无法用Haskell编写。

有关说明和证明这一点的某些Agda代码，请参见http://hpaste.org/68257。

这是一个旧线程，但是我发现这个问题很有趣，所以我自己做了一些计算。希望Bartosz还在，并且可能会读到此。

实际上，在这种情况下，艾伦伯格-摩尔（Eilenberg-Moore）结构的确提供了非常清晰的画面。（我将在类似Haskell的语法中使用CWM表示法）

设Tmonad < T,eta,mu >（eta = return和mu = concat）为列表，并考虑T代数h:T a -> a。

（请注意，这T a = [a]是一个免费的monoid <[a],[],(++)>，即身份[]和乘法(++)。）

根据定义，h必须满足h.T h == h.mu a和h.eta a== id。

现在，一些简单的图追踪证明h实际上在（定义x*y = h[x,y]）上诱导了一个单面体结构，并且h对该结构变成了一个单面体同构。

相反，< a,a0,* >在Haskell中定义的任何类单元结构自然定义为T代数。

通过这种方式（h = foldr ( * ) a0，一个功能“替代”(:)用 (*)，并映射[]到a0，身份）。

因此，在这种情况下，T代数的类别只是可在HaskMon，Haskell中定义的类半圆结构的类别。

（请检查T代数中的态射实际上是类单态同态。）

它还将列表表征为HaskMon中的通用对象，就像Grp中的免费乘积，CRng中的多项式环等。

与上述结构相对应的裁定为 < F,G,eta,epsilon >

哪里

• F:Hask -> HaskMon，其类型为“生成的自由monoid a”，即[a]，
• G:HaskMon -> Hask，健忘的函子（忘记乘法），
• eta:1 -> GF ，天然转化定义通过\x::a -> [x]，
• epsilon: FG -> 1 ，由上面的折叠函数定义的自然变换（从自由单半体到其商单半体的“规范超越”）

接下来，还有另一个“克莱斯里类别”和相应的附加语。您可以检查它是否只是具有态射的Haskell类型的类别a -> T b，其组成由所谓的“ Kleisli组成”给出(>=>)。典型的Haskell程序员会发现此类别更加熟悉。

最终，如CWM中所示，T代数的类别（分别为Kleisli类别）成为在适当意义上定义列表单子T的裁量类别中的最终对象（分别为初始）。

我建议对二叉树函子T a = L a | B (T a) (T a)进行类似的计算，以检查您的理解。

我已经为Eilenberg-Moore的任何monad找到了辅助函子的标准构造，但是我不确定它是否对问题有任何启示。构造中的第二类是T代数。AT代数将“产品”添加到初始类别。

那么，对于列表monad它将如何工作？list monad中的函子由类型构造Int->[Int]函数（例如）和功能映射（例如map到list的标准应用程序）组成。代数添加了从列表到元素的映射。一个示例是将一个整数列表中的所有元素相加（或相乘）。函子F采用任何类型，例如Int，并将其映射到Int列表中定义的代数，其中乘积由一元连接定义（反之亦然，连接定义为乘积）。健忘的函子G取一个代数就忘记了乘积。一对F，G，伴随函子的随后用于构建单子以通常的方式。

我必须说我没有一个明智的选择。

如果您有兴趣，可以考虑以下非专家对编程语言中monad和附加词的作用的看法：

首先，对于给定的monad，存在TKleisli类别的唯一附加语T。在Haskell中，monad的使用主要限于此类别中的运算（该类别实质上是自由代数，无商数的类别）。实际上，使用Haskell Monad所能做的就是a->T b通过使用do表达式(>>=)等来组合一些类型的Kleisli态射像，以创建新的态射像。在这种情况下，单子的作用仅限于符号的经济性。一个人利用态素的关联性来写（比如说）[0,1,2] 而不是(Cons 0 (Cons 1 (Cons 2 Nil)))，即可以将序列写为序列而不是树。

甚至不需要使用IO monad，因为当前的Haskell类型系统功能强大，足以实现数据封装（现有类型）。

这是我对您最初的问题的回答，但我很好奇Haskell专家对此有何评论。

另一方面，正如我们已经指出的，单子与（T-）代数的附加词之间也存在1-1对应关系。用MacLane的术语来说，伴随是“表达类别对等的一种方式”。在典型的附加条件中<F,G>:X->A，F某种形式的“自由代数生成器”和G是“健忘函子”，相应的单子将（通过使用T代数）描述如何（以及何时）构造的代数结构A。的对象X。

在Hask和list monad T的情况下，T引入的结构是类半体的结构，这可以帮助我们通过类半体理论提供的代数方法来建立代码的属性（包括正确性）。例如，该函数foldr (*) e::[a]->a可以很容易地被视为关联操作，只要它<a,(*),e>是一个monoid，便可以被编译器用来优化计算（例如，通过并行性）的事实。另一个应用程序是使用分类方法对函数式编程中的“递归模式”进行识别和分类，以期（部分）处置“函数式编程的起点” Y（任意递归组合器）。

显然，这种应用是类别理论的创建者（MacLane，Eilenberg等）的主要动机之一，即建立类别的自然对等关系，并将一种类别中的知名方法转移到另一类别（例如，拓扑空间的同构方法，编程的代数方法等）。在这里，伴随和单子是利用类别的这种联系的必不可少的工具。（顺便提一下，单子（及其双偶，共母）的概念是如此笼统，以至于甚至可以定义Haskell类型的“同调”，但我还没有想到。）

至于您提到的非确定性函数，我要说的要少得多。如果<F,G>:Hask->A某个类别A的附加语定义了列表monad T，则必须有一个唯一的“比较函子” K:A->MonHask（在Haskell中可定义的类单元体的类别），请参阅CWM。实际上，这意味着您要关注的类别必须是某种受限形式的Monoid类别（例如，它可能缺少一些商但不是自由代数）才能定义列表单子。

最后，一些评论：

我在上一篇文章中提到的二叉树函子很容易推广到任意数据类型 T a1 .. an = T1 T11 .. T1m | ...。也就是说，Haskell中的任何数据类型自然会定义一个monad（以及相应的代数类别和Kleisli类别），这仅仅是Haskell中任何数据构造函数的总和。这就是为什么我认为Haskell的Monad类不只是语法糖（当然，这在实践中非常重要）的另一个原因。