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如果数字n不是素，它可以分解成两个因素a和b：
n = a * b
现在a并且b不能都大于的平方根n，因为从那以后乘积a * b将大于sqrt(n) * sqrt(n) = n。因此，在的任何因式分解中n，至少一个因数必须小于的平方根n，并且如果我们找不到任何小于或等于平方根的因数，则n必须为素数。
sqrt(n)考虑到我们使用的是浮点数，如何足够精确地保持此属性。
i * i <= n代替i <= sqrt(n)。
比方说，m = sqrt(n)然后m × m = n。现在，如果n不是素数，则n可以写成n = a × b，所以m × m = a × b。请注意，m是实数，而n，a并且b是自然数。
现在可以有3种情况：
在所有3种情况下，min(a, b) ≤ m。因此，如果我们搜索直到m，就必定会找到至少一个因子n，足以表明它n不是素数。
n is not a prime，并证明这一点，否则就是素数。
一个更直观的解释是：
100的平方根是10。比方说，对于a和b的各种对，axb = 100。
如果a == b，则它们相等，并且正好是100的平方根。是10
如果其中一个小于10，则另一个必须大于10。例如，5 x 20 ==100。一个大于10，另一个小于10。
考虑到axb，如果其中一个下降，则另一个必须增大以进行补偿，因此乘积保持在100。它们围绕平方根旋转。
101的平方根约为10.049875621。因此，如果您要测试数字101的素数，则只需要尝试10之前的整数，包括10。但是8、9和10本身不是素数，因此只需要测试7即可。主要。
因为如果存在一对因子，其中一个大于10，则该对中的另一个必须小于10。如果不存在较小的因子，则不存在匹配的较大因子101。
如果要测试121，则平方根为11。您必须测试1到11（包括11）的质数，看它是否均匀分布。11进入11次，所以121不是素数。如果您已经停在10，并且没有测试11，那么您将错过11。
假设您仅测试奇数，则必须测试每个大于2但小于或等于平方根的素数。
`
假设给定的整数N不是素数，
然后N可以被分解成两个因素a和b， 2 <= a, b < N使得N = a*b。显然，两者不能同时大于sqrt(N)。
让我们假设不失一般性地假设它a较小。
现在，如果您找不到N范围内的所有除数，[2, sqrt(N)]那是什么意思？
这意味着as N中没有任何除数。[2, a]a <= sqrt(N)
因此，a = 1并b = n因此根据定义，N是素数。
...
如果您不满意，请继续阅读：
的许多不同组合(a, b)是可能的。假设它们是：
（a 1，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 3），.....（a k，b k）。不失一般性，假设 i <b i，1<= i <=k。。
现在，要证明N不是素数，就足以证明i不能进一步分解。而且我们也知道i <= sqrt(N)，因此您需要检查直到sqrt(N)覆盖所有i。因此，您将能够得出结论是否N为质数。
...
这实际上只是分解和平方根的基本用途。
它可能看起来是抽象的，但实际上，它仅在于非素数的最大可能阶乘必须是其平方根的事实，因为：
sqrroot(n) * sqrroot(n) = n。
鉴于此，如果上下任意整数1或整数均sqrroot(n)分为n，则n不能是一个素数。
伪代码示例：
i = 2;
is_prime = true;
while loop (i <= sqrroot(n))
{
if (n % i == 0)
{
is_prime = false;
exit while;
}
++i;
}
guard，结合方便的stackoverflow.com/a/25555762/4475605在Swift中创建一条语句，可以尽早退出计算，而不是浪费计算能力。感谢您的发表。
++i将其变为数字1，则该数字将始终返回false（因为1除以所有内容）。我已经纠正了上面的答案。
假设我们有一个数字“ a”，它不是质数[不是质数/复合数的意思-一个可以除以1或其他数字的数。例如，可以将6平均除以2、3或1或6]。
6 = 1×6或6 = 2×3
因此，现在如果“ a”不是素数，则可以将其除以另外两个数字，假设这些数字是“ b”和“ c”。意思是
a = b * c。
现在，如果“ b”或“ c”，则它们中的任何一个都大于“ a”的平方根，“大于” b”和“ c”的乘积将大于“ a”。
因此，“ b”或“ c”始终小于等于“ a”的平方根，以证明等式“ a = b * c”。
由于上述原因，当我们测试一个数字是否为质数时，我们只会检查该数字的平方根。
给定任意数字n，找到其因子的一种方法是求平方根p：
sqrt(n) = p
当然，如果我们p自己相乘，那么我们会得到n：
p*p = n
可以将其重写为：
a*b = n
在哪里p = a = b。如果a增加，则b减少以维持a*b = n。因此，p是上限。
更新：我今天重新阅读了这个答案，对我来说，它变得更加清晰。该值p不一定表示整数，因为如果为整数，则n不是质数。因此，p可以是一个实数（即带分数）。并且无需遍历整个范围n，现在我们只需要遍历整个范围p。另一个p是镜像副本，因此实际上我们将范围减半。然后，现在我看到我们实际上可以继续重做，square root并将其p范围扩大一半。
任何复合数字都是质数的乘积。
说n = p1 * p2，在哪里p2 > p1是素数。
如果n % p1 === 0再ñ是一个复合数字。
如果n % p2 === 0那你猜怎么着n % p1 === 0着！
所以没有办法，n % p2 === 0但n % p1 !== 0要同时做到。换句话说，如果合成数n可以除以
p2，p3 ... pi（其更大的因数），则它也必须除以最低的因数p1。事实证明，最低因素p1 <= Math.square(n)始终是正确的。
为了测试数字n的素数，首先需要一个如下所示的循环：
bool isPrime = true;
for(int i = 2; i < n; i++){
if(n%i == 0){
isPrime = false;
break;
}
}
上面的循环是这样的：给定1 <i <n，它将检查n / i是否为整数（余数为0）。如果存在一个i，其中n / i是整数，那么我们可以确定n不是质数，此时循环终止。如果没有i，则n / i为整数，则n为质数。
与每种算法一样，我们问：我们可以做得更好吗？
让我们看看上面循环中发生了什么。
i的顺序为：i = 2，3，4，...，n-1
整数检查的顺序为：j = n / i，即n / 2，n / 3，n / 4，...，n /（n-1）
如果对于某些i = a，n / a是整数，则n / a = k（整数）
或n = ak，显然n> k> 1（如果k = 1，则a = n，但我从未达到n；如果k = n，则a = 1，但我从2开始）
另外，n / k = a，如上所述，a是i的值，所以n> a> 1。
因此，a和k都是介于1和n之间的整数（不包括）。因为，我到达该范围内的每个整数，所以在某个迭代中，i = a，在其他迭代中，i = k。如果n的素数测试对min（a，k）失败，那么对max（a，k）也会失败。因此，我们仅需要检查这两种情况之一，除非min（a，k）= max（a，k）（其中两次检查都减少为1），即a = k，此时a * a = n，意味着一个= sqrt（n）。
换句话说，如果n的素数测试对于某些i> = sqrt（n）（即max（a，k））失败，那么对于某些i <= n（即min（a））也将失败。 ，k））。因此，如果我们对sqrt（n）的i = 2进行测试就足够了。
n = a*b和a <= b再a*a <= a*b = n。