如何将连续单声道分解为左右伴随？

由于State monad可分解为乘积（左-函子）和阅读器（右-可表示）。

有没有一种方法可以使Continuation Monad分解？下面的代码是我的尝试，它不会类型检查

-- To form a -> (a -> k) -> k
{-# LANGUAGE MultiParamTypeClasses, TypeOperators, InstanceSigs, TypeSynonymInstances #-}
type (<-:) o i = i -> o
-- I Dont think we can have Functor & Representable for this type synonym

class Isomorphism a b where
   from :: a -> b
   to :: b -> a

instance Adjunction ((<-:) e) ((<-:) e) where
   unit :: a -> (a -> e) -> e
   unit a handler = handler a

   counit :: (a -> e) -> e -> a
   counit f e = undefined -- If we have a constraint on Isomorphism a e then we can implement this

是否有构成单子的左与右伴随项列表？
我读过，给定一对伴随物，它们形成一个独特的Monad＆Comonad，但给定一个Monad，它可以分解为多个因数。有这个例子吗？

— 帕万·库玛（Pawan Kumar）
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这不会进行类型检查，因为该类Adjunction仅表示附加的一小部分，其中两个函子都是Hask上的endofunctors。

事实证明，附属条件并非如此(<-:) r -| (<-:) r。这里有两个细微不同的函子：

f = (<-:) r，从Hask到Op（Hask）的函子（与Hask相反的类别，有时也称为Hask ^ op）
g = (<-:) r，从Op（Hask）到Hask的函子

尤其counit应在Op（Hask）类别中进行自然转换，该类别会围绕以下箭头翻转：

unit   :: a -> g (f a)
counit :: f (g a) <-: a

其实counit与unit此附件相同。

为了正确地捕捉到这一点，我们需要对Functorand Adjunction类进行泛化，以便可以对不同类别之间的附加语进行建模：

class Exofunctor c d f where
  exomap :: c a b -> d (f a) (f b)

class
  (Exofunctor d c f, Exofunctor c d g) =>
  Adjunction
    (c :: k -> k -> Type)
    (d :: h -> h -> Type)
    (f :: h -> k)
    (g :: k -> h) where
  unit :: d a (g (f a))
  counit :: c (f (g a)) a

然后，我们再次得到Compose一个单子（如果翻转该附加，则是一个单子）：

newtype Compose f g a = Compose { unCompose :: f (g a) }

adjReturn :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => a -> Compose g f a
adjReturn = Compose . unit @_ @_ @c @(->)

adjJoin :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => Compose g f (Compose g f a) -> Compose g f a
adjJoin = Compose . exomap (counit @_ @_ @c @(->)) . (exomap . exomap @(->) @c) unCompose . unCompose

并且Cont仅仅是其中的一种特殊情况：

type Cont r = Compose ((<-:) r) ((<-:) r)

另请参阅此要点以获取更多详细信息：https : //gist.github.com/Lysxia/beb6f9df9777bbf56fe5b42de04e6c64

我读过，给定一对伴随物，它们会形成一个独特的Monad＆Comonad，但给定一个Monad，它可以分解为多个因数。有这个例子吗？

分解通常不是唯一的。一旦如上所述M对附加词进行了概括，那么至少可以将任何monad 视为其Kleisli类别与其基本类别（在本例中为Hask）之间的附加词。

Every monad M defines an adjunction
  F -| G
where

F : (->) -> Kleisli M
  : Type -> Type                -- Types are the objects of both categories (->) and Kleisli m.
                                -- The left adjoint F maps each object to itself.
  : (a -> b) -> (a -> M b)      -- The morphism mapping uses return.

G : Kleisli M -> (->)
  : Type -> Type                -- The right adjoint G maps each object a to m a
  : (a -> M b) -> (M a -> M b)  -- This is (=<<)

我不知道延续单子是否对应于Hask上endofunctors之间的附加词。

另请参阅有关monad的nCatLab文章：https ://ncatlab.org/nlab/show/monad#RelationToAdjunctionsAndMonadicity

与附加条件和专制性的关系

每个附加语（L⊣R）都会产生一个单子R∘L和一个共性L∘R。通常，有不止一个附加词以这种方式产生给定的单子，实际上，给定单子有一类附加词。该类别中的初始对象是单子的Kleisli类别的附加物，而末端对象是代数的Eilenberg-Moore类别的附加物。（例如Borceux，第2卷，第4.2.2节）后者称为单子附加。

— 夏丽瑶
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