什么是次正规浮点数？

80

isnormal（）参考页告诉您：

确定给定的浮点数arg是否正常，即既不是零，次正规，无穷也不是NaN。

一个数字为零，无穷大或NaN很清楚这意味着什么。但这也说不合正常。什么时候是次正规的？

c++  c++11  floating-point  ieee-754 
— BЈовић
source
2
谷歌的第一个结果表明它只是
— 反常态
9
然而，现在Google的第二个热门话题（搜索“低于正常浮点数”）就是这个问题本身。
— Slipp D. Thompson
请参见以下问题，以深入讨论异常情况及其处理方法：stackoverflow.com/questions/9314534/…–
— 图

Answers:

76

在IEEE754标准中，浮点数表示为二进制科学符号x  =  M  ×2 e。这里M是尾数，e是指数。在数学上，可以随时选择指数，使得1≤ 中号 <2 *然而，由于在计算机中表示的指数只能具有有限的范围内，有一些数字它们是大于零，但小于1.0×2 ë分钟。这些数字是次归或反向规格。

实际上，尾数存储时不带前导1，因为除次正规数（和零）外，总会有一个前导1 。因此，这种解释是，如果指数不是最小，则隐式前导1，如果指数最小，则隐式前导1，且数字为次正规。

*）更一般地，1≤ 中号 < 乙  任何碱基乙科学记数法。

— 克瑞克SB
source
你说isnomal是true如果8位均为零，false否则？
— Pacerier，
“存储”或解释？
— Pacerier，
@Pacerier：“存储”：存储时不带前导1，例如，为001010，并解释为1.001010。
— Kerrek SB
74

IEEE 754基础

首先，让我们回顾一下IEEE 754编号的基本知识。

我们将专注于单精度（32位），但是所有内容都可以立即推广到其他精度。

格式为：

  • 1位：符号
  • 8位：指数
  • 23位：小数

或者，如果您喜欢图片：

在此处输入图片说明

来源。

符号很简单：故事的结尾是0，是正数，而1是负数。

指数是8位长，因​​此它的范围是0到255。

指数被称为有偏的，因为它的偏移量为-127，例如：

  0 == special case: zero or subnormal, explained below
  1 == 2 ^ -126
    ...
125 == 2 ^ -2
126 == 2 ^ -1
127 == 2 ^  0
128 == 2 ^  1
129 == 2 ^  2
    ...
254 == 2 ^ 127
255 == special case: infinity and NaN

前导约定

在设计IEEE 754时，工程师注意到，除以外的所有数字0.0都有一个1二进制数作为第一个数字。例如：

25.0   == (binary) 11001 == 1.1001 * 2^4
 0.625 == (binary) 0.101 == 1.01   * 2^-1

两者都从那个烦人的1.部分开始。

因此，让该数字几乎每一个数字都占用一个精度位是浪费的。

因此，他们创建了“前导约定”：

始终假设数字以1开头

但是那怎么处理0.0呢？好吧，他们决定创建一个例外：

  • 如果指数为0
  • 分数是0
  • 然后数字代表正负 0.0

这样字节00 00 00 00也代表0.0，看起来不错。

如果仅考虑这些规则，那么可以表示的最小非零数将是：

  • 指数：0
  • 分数：1

由于前导位约定，它看起来像是十六进制分数：

1.000002 * 2 ^ (-127)

其中.000002是22个零，1结尾处是a 。

我们不能接受fraction = 0，否则该数字将是0.0。

但是，那些对美学也很敏锐的工程师却想：这不是很丑吗？我们从直线跳到0.0甚至不是2的幂次幂的东西吗？我们不能以某种方式代表更小的数字吗？

次正规数

工程师们挠了一下头，然后像往常一样带着另一个好主意回来了。如果我们创建新规则，该怎么办：

如果指数为0，则：

  • 前导位变为0
  • 指数固定为-126（不是-127，就好像我们没有此异常）

这样的数字称为次正规数（或非正规数，这是同义词）。

该规则立即暗示该数字应为：

  • 指数：0
  • 分数：0

仍然是0.0，这有点优雅，因为这意味着要少追踪一条规则。

所以，0.0实际上是根据我们的定义低于正常的数量！

那么，使用此新规则，最小的非次级数为：

  • 指数：1（0将是次正规的）
  • 分数：0

代表：

1.0 * 2 ^ (-126)

然后，最大的次正规数为：

  • 指数：0
  • 分数：0x7FFFFF（23位1）

等于：

0.FFFFFE * 2 ^ (-126)

这里.FFFFFE再次为23位一个点的权利。

这非常接近最小的非次级数，听起来很理智。

最小的非零次正规数为：

  • 指数：0
  • 分数：1

等于：

0.000002 * 2 ^ (-126)

看起来也很接近0.0！

工程师们找不到合适的方法来表示小于该数字的数字，他们很高兴，他们又回到网上观看猫的照片，或者说他们在70年代所做的一切。

如您所见，次正规数在精度和表示长度之间进行权衡。

作为最极端的示例，最小的非零子法线：

0.000002 * 2 ^ (-126)

本质上具有一位而不是32位的精度。例如，如果我们将其除以二：

0.000002 * 2 ^ (-126) / 2

我们实际上达到0.0了！

可视化

对我们学到的东西有一个几何上的直觉总是一个好主意，所以这里是。

如果我们针对每个给定指数在一条线上绘制IEEE 754浮点数，则它看起来像这样：

          +---+-------+---------------+-------------------------------+
exponent  |126|  127  |      128      |              129              |
          +---+-------+---------------+-------------------------------+
          |   |       |               |                               |
          v   v       v               v                               v
          -------------------------------------------------------------
floats    ***** * * * *   *   *   *   *       *       *       *       *
          -------------------------------------------------------------
          ^   ^       ^               ^                               ^
          |   |       |               |                               |
          0.5 1.0     2.0             4.0                             8.0

从中我们可以看到：

  • 对于每个指数，所表示的数字之间没有重叠
  • 对于每个指数，我们具有相同的2 ^ 32数字（此处由4表示*）
  • 在每个指数内，点等距分布
  • 较大的指数覆盖较大的范围，但点分布更多

现在，让我们将其降低到指数0。

如果没有子正常，则假设如下所示：

          +---+---+-------+---------------+-------------------------------+
exponent  | ? | 0 |   1   |       2       |               3               |
          +---+---+-------+---------------+-------------------------------+
          |   |   |       |               |                               |
          v   v   v       v               v                               v
          -----------------------------------------------------------------
floats    *    **** * * * *   *   *   *   *       *       *       *       *
          -----------------------------------------------------------------
          ^   ^   ^       ^               ^                               ^
          |   |   |       |               |                               |
          0   |   2^-126  2^-125          2^-124                          2^-123
              |
              2^-127

使用次普通态时，它看起来像这样：

          +-------+-------+---------------+-------------------------------+
exponent  |   0   |   1   |       2       |               3               |
          +-------+-------+---------------+-------------------------------+
          |       |       |               |                               |
          v       v       v               v                               v
          -----------------------------------------------------------------
floats    * * * * * * * * *   *   *   *   *       *       *       *       *
          -----------------------------------------------------------------
          ^   ^   ^       ^               ^                               ^
          |   |   |       |               |                               |
          0   |   2^-126  2^-125          2^-124                          2^-123
              |
              2^-127

通过比较两个图，我们看到：

  • 次正态的指数范围的长度加倍0，从[2^-127, 2^-126)到[0, 2^-126)

    次标准范围内的浮点间距与相同[0, 2^-126)。

  • 该范围[2^-127, 2^-126)的点数是不具有法线的点的一半。

    这些点的一半去填补范围的另一半。

  • 该范围[0, 2^-127)有一些点具有次法线，但没有一点。

    缺少这些点[0, 2^-127)不是很优雅，这是次常态存在的主要原因！

  • 因为这些点之间的距离相等：

    • 范围[2^-128, 2^-127)比[2^-127, 2^-126) -少[2^-129, 2^-128)一半[2^-128, 2^-127)
    • 等等

    这就是我们所说的次法线是大小和精度之间的折衷。

可运行的C示例

现在，让我们玩一些实际的代码来验证我们的理论。

在几乎所有当前和台式计算机中，Cfloat表示单精度IEEE 754浮点数。

我的Ubuntu 18.04 amd64 Lenovo P51笔记本电脑尤其如此。

在这种假设下，所有断言都将通过以下程序：

次正态

#if __STDC_VERSION__ < 201112L
#error C11 required
#endif

#ifndef __STDC_IEC_559__
#error IEEE 754 not implemented
#endif

#include <assert.h>
#include <float.h> /* FLT_HAS_SUBNORM */
#include <inttypes.h>
#include <math.h> /* isnormal */
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

#if FLT_HAS_SUBNORM != 1
#error float does not have subnormal numbers
#endif

typedef struct {
    uint32_t sign, exponent, fraction;
} Float32;

Float32 float32_from_float(float f) {
    uint32_t bytes;
    Float32 float32;
    bytes = *(uint32_t*)&f;
    float32.fraction = bytes & 0x007FFFFF;
    bytes >>= 23;
    float32.exponent = bytes & 0x000000FF;
    bytes >>= 8;
    float32.sign = bytes & 0x000000001;
    bytes >>= 1;
    return float32;
}

float float_from_bytes(
    uint32_t sign,
    uint32_t exponent,
    uint32_t fraction
) {
    uint32_t bytes;
    bytes = 0;
    bytes |= sign;
    bytes <<= 8;
    bytes |= exponent;
    bytes <<= 23;
    bytes |= fraction;
    return *(float*)&bytes;
}

int float32_equal(
    float f,
    uint32_t sign,
    uint32_t exponent,
    uint32_t fraction
) {
    Float32 float32;
    float32 = float32_from_float(f);
    return
        (float32.sign     == sign) &&
        (float32.exponent == exponent) &&
        (float32.fraction == fraction)
    ;
}

void float32_print(float f) {
    Float32 float32 = float32_from_float(f);
    printf(
        "%" PRIu32 " %" PRIu32 " %" PRIu32 "\n",
        float32.sign, float32.exponent, float32.fraction
    );
}

int main(void) {
    /* Basic examples. */
    assert(float32_equal(0.5f, 0, 126, 0));
    assert(float32_equal(1.0f, 0, 127, 0));
    assert(float32_equal(2.0f, 0, 128, 0));
    assert(isnormal(0.5f));
    assert(isnormal(1.0f));
    assert(isnormal(2.0f));

    /* Quick review of C hex floating point literals. */
    assert(0.5f == 0x1.0p-1f);
    assert(1.0f == 0x1.0p0f);
    assert(2.0f == 0x1.0p1f);

    /* Sign bit. */
    assert(float32_equal(-0.5f, 1, 126, 0));
    assert(float32_equal(-1.0f, 1, 127, 0));
    assert(float32_equal(-2.0f, 1, 128, 0));
    assert(isnormal(-0.5f));
    assert(isnormal(-1.0f));
    assert(isnormal(-2.0f));

    /* The special case of 0.0 and -0.0. */
    assert(float32_equal( 0.0f, 0, 0, 0));
    assert(float32_equal(-0.0f, 1, 0, 0));
    assert(!isnormal( 0.0f));
    assert(!isnormal(-0.0f));
    assert(0.0f == -0.0f);

    /* ANSI C defines FLT_MIN as the smallest non-subnormal number. */
    assert(FLT_MIN == 0x1.0p-126f);
    assert(float32_equal(FLT_MIN, 0, 1, 0));
    assert(isnormal(FLT_MIN));

    /* The largest subnormal number. */
    float largest_subnormal = float_from_bytes(0, 0, 0x7FFFFF);
    assert(largest_subnormal == 0x0.FFFFFEp-126f);
    assert(largest_subnormal < FLT_MIN);
    assert(!isnormal(largest_subnormal));

    /* The smallest non-zero subnormal number. */
    float smallest_subnormal = float_from_bytes(0, 0, 1);
    assert(smallest_subnormal == 0x0.000002p-126f);
    assert(0.0f < smallest_subnormal);
    assert(!isnormal(smallest_subnormal));

    return EXIT_SUCCESS;
}

GitHub上游。

编译并运行：

gcc -ggdb3 -O0 -std=c11 -Wall -Wextra -Wpedantic -Werror -o subnormal.out subnormal.c
./subnormal.out

C ++

除了公开所有C的API外，C ++还公开了一些额外的次规范相关功能，这些功能在C in中不那么可用<limits>，例如：

  • denorm_min：返回类型T的最小正次正规值

在C ++中，整个API都是针对每种浮点类型进行模板化的，并且更好。

实作

x86_64和ARMv8直接在C代码转换为硬件的硬件上实现IEEE 754。

在某些实现中，次法线似乎没有法线快：为什么将0.1f更改为0会使性能降低10倍？在ARM手册中对此进行了提及，请参见此答案的“ ARMv8详细信息”部分。

ARMv8详细信息

《 ARM体系结构参考手册》 ARMv8 DDI 0487C.a手册A1.5.4“刷新至零”描述了一种可配置模式，在该模式中，将子法线舍入为零以提高性能：

在进行涉及非规格化数和下溢异常的计算时，可能会降低浮点处理的性能。在许多算法中，可以通过用0代替非规格化的操作数和中间结果来恢复该性能，而不会显着影响最终结果的准确性。为了进行此优化，ARM浮点实现允许将刷新到零模式用于不同的浮点格式，如下所示：

  • 对于AArch64：

    • 如果为FPCR.FZ==1，则所有指令的所有单精度和双精度输入和输出都使用“齐零”模式。

    • 如果为FPCR.FZ16==1，则将浮点到零模式用于浮点指令的所有半精度输入和输出，除了：-半精度和单精度数字之间的转换。-半精度和双精度数字之间的转换。数字。

A1.5.2“浮点标准和术语”表A1-3“浮点术语”确认次正规和非正规是同义词：

This manual                 IEEE 754-2008
-------------------------   -------------
[...]
Denormal, or denormalized   Subnormal

C5.2.7“ FPCR，浮点控制寄存器”描述了每当浮点操作的输入不正常时，ARMv8如何可选地引发异常或设置标志位：

FPCR.IDE，位[15]输入反常浮点异常陷阱使能。可能的值为：

  • 0b0选择了未捕获的异常处理。如果发生浮点异常，则FPSR.IDC位设置为1。

  • 0b1选择了陷阱异常处理。如果发生浮点异常，则PE不会更新FPSR.IDC位。陷阱处理软件可以决定是否将FPSR.IDC位设置为1。

D12.2.88“ MVFR1_EL1，AArch32媒体和VFP功能寄存器1”表明，非标准支持实际上是完全可选的，并提供了一些检测是否支持的方法：

FPFtZ，位[3：0]

刷新至零模式。指示浮点实现是否仅对“从刷新到零”操作模式提供支持。定义的值为：

  • 0b0000未实现，或硬件仅支持“从零清除”操作模式。

  • 0b0001硬件支持完整的非规格化数字算法。

所有其他值均保留。

在ARMv8-A中，允许的值为0b0000和0b0001。

这表明，当未实现次规范时，实现将恢复为刷新至零。

无限和NaN

好奇？我在以下位置写过一些东西：

— Ciro Santilli郝海东冠状病六四事件法轮功
source
1
引用“在设计IEEE 754 ..时”？或以“应该”开头句子
— -Pacerier，
@Pacerier我不认为事实可能是错误的:-)还有其他理由吗？这可能是以前知道的，但是我认为可以。
— 西罗Santilli郝海东冠状病六四事件法轮功
27

从http://blogs.oracle.com/d/entry/subnormal_numbers：

表示相同数字的方法可能有多种，以小数为例，数字0.1可以表示为1 * 10 -1或0.1 * 10 0甚至0.01 * 10。标准规定数字始终与第一位为一个。以十进制表示，对应于1 * 10-1示例。

现在假设可以表示的最低指数是-100。因此，可以正常形式表示的最小数字是1 * 10 -100。但是，如果我们放宽首位为1的约束，那么实际上我们可以在同一空间中表示较小的数字。以小数示例为例，我们可以表示0.1 * 10 -100。这称为次正规数。具有次正规数的目的是使最小的正规数与零之间的间隙变平滑。

重要的是要认识到，次正态数表示的精度要低于正态数。实际上，它们为较小的尺寸而降低了精度。因此，使用非正规数的计算将不会具有与基于正规数的计算相同的精度。因此，对次正规数进行大量计算的应用程序可能值得研究，以查看重新缩放（即，将数字乘以某个缩放因子）是否会产生更少的次正规量，并获得更准确的结果。

— Allwyn.menezes
source
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