通过通用门的近似门如何随计算长度缩放？

我知道，有一个建设性的证明，即任意门可以由有限的通用门集来近似，即Solovay-Kitaev定理。
但是，这种近似会引入误差，该误差会在长时间的计算中扩展并累积。可能会随着计算时间的长短严重缩放？可能有人可能会将近似算法应用于整个电路，而不是应用于单个门。但是，这如何随计算长度缩放（即，近似值如何随门的尺寸缩放）？门近似与门综合有何关系？因为我可以想象这会影响计算的最终长度？
更令我困扰的是：如果在编译门序列时不知道计算长度，会发生什么？

— 斯特恩
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$A$ $\left\lVert A\right\rVert$ $A$ $A$ $\epsilon$

O (\log^{c} \frac{1}{ϵ})

$\mathcal O\left(\log^c\frac 1\epsilon\right)$

c < 4

$c<4$

对于第一部分：

逼近会引入误差，该误差会在长时间的计算中扩散并累积

很好，可以通过归纳法表明，通过使用一个矩阵逼近另一个矩阵积累的误差是次加性的（请参见例如Andrew Child的讲义）。也就是说，对于单一矩阵和，。 $U_i$ $V_i$ $\left\lVert U_i - V_i\right\rVert < \epsilon\,\forall\, i \in \left\lbrace1, 2, \ldots, t\right \rbrace\implies \left\lVert U_t\ldots U_2U_1 - V_t\ldots V_2V_1\right\rVert \leq t\epsilon$

就实现而言，这意味着，要实现不超过的总误差，每个门都必须近似于或 $\epsilon$ $\epsilon/t$

将近似值应用于整个电路

与将近似值应用于每个单独的门相同，每个近似值的误差不超过整个电路的误差除以您要近似的门的数量。

在栅极合成而言，该算法是通过取栅极组产品进行以形成新的栅组其形成网为（用于任意）。从身份开始，从新的门集合中递归地找到一个新的ary，以获得围绕目标unit的更紧密的网络。奇怪的是，经典算法执行此操作的时间也是，这是子多项式时间。但是，按照 $\Gamma$ $\Gamma_0$ $\epsilon^2$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $A \in \operatorname{SU}\left(d\right),\, \exists U\in\Gamma_0\, s.t. \left\lVert A-U\right\rVert\leq\epsilon^2$ $\mathcal O\left(\mathit{poly} \log 1/\epsilon\right)$ Harrow，Recht，Chuang，以维表示，因为半径的球围绕的体积为，它呈指数缩放在中表示不固定的尺寸。 $d$ $\epsilon$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $\propto \epsilon^{d^2-1}$ $d^2$

这确实会影响最终的计算时间。但是，由于门数量的缩放比例和经典计算复杂度都是次多项式，因此，至少对于通常考虑的类别，这不会改变任何算法的复杂度类别。

对于门，则总体（时间和门）复杂度为 $t$ 。

O (t p o l y \log \frac{t}{ϵ})

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac t\epsilon\right)$

当使用没有中间测量值的单一电路模型时，将始终在计算之前知道要实现的门数。但是，可以假设使用中间测量时不是这种情况，因此当您想要近似的门数未知时，这就是说未知。如果您不知道是什么，则显然无法将每个门近似为误差。如果您知道门数的界限（例如），则可以将每个门近似于以内，以得出整体误差 $t$ $t$ $\epsilon/t$ $t_{\text{max}}$ $\epsilon/t_{\text{max}}$ $\leq\epsilon$ 和复杂度尽管数字上没有上限的栅极是已知的，那么每个栅极将被近似为一些（较小的），给出的整体错误对所得数实现门的（这是未知的开始时），用整体复杂度

O (t p o l y \log \frac{t_{max}}{ϵ}),

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac {t_{\text{max}}}{\epsilon}\right),$

ϵ^{'}

$\epsilon'$

\leq t^{'} ϵ

$\leq t'\epsilon$

t^{'}

$t'$

O (t^{'} p o l y \log \frac{1}{ϵ^{'}}) .

$\mathcal O\left(t'\, \mathit{poly} \log \frac {1}{\epsilon'}\right).$

当然，这样做的总误差仍然无界的，所以一个简单的¹保持为界的错误的方法是由，比方说，一个因素每次减小误差，使得栅极将是使用错误。则复杂度将为给出整体（现在为多项式）复杂度尽管这样做确实有保证有限错误的优势。 $2$ $n^{th}$ $\epsilon/2^n$

O (p o l y \log \frac{2^{n}}{ϵ^{'}}) = O (p o l y n \log \frac{1}{ϵ^{'}}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly} \log \frac {2^n}{\epsilon'}\right) = \mathcal O\left(\mathit{poly}\, n\log \frac {1}{\epsilon'}\right),$

O (p o l y t \log \frac{1}{ϵ}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly}\, t \log \frac {1}{\epsilon}\right),$

这是不是太糟糕，所以我希望（当门数不详）经典计算机将能够保持至少想出正确的门一样快，一个量子处理器将需要他们。如果不是现在，那么希望一旦量子处理器变得足够好，这实际上就会成为问题！

^{1尽管可能不是最有效的}

— Mithrandir24601
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