给定一个

13

假设我们使用一些通用门集（例如CNOT门和单量子位unit）对aries 进行电路分解。是否有记下相应的控制整体的电路的直接方式使用同一通用栅极组？ $U$ $C_U$

例如，以为电路： $U=i Y = H X H X$

我们可以代替由栅极（CNOT）门以获得： $X$ $C_X$ $C_U$

这是有效的，因为如果控制qubit处于状态目标上的动作是，而对于它适用于电路。对于不同的，尤其是当它作用于几个量子位时，提出这样的电路可能很麻烦。如果您知道如何构造，是否有配方获得的电路？ $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— 斯特恩
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您是否在问如何用任意一个单比特U来构建CU？要做到这一点的方法，可以在N＆C 4章中找到（参见例如图4.6中最后一版），这基本上是你表现出分解的泛化

— GLS

@glS噢，我还没意识到。看起来就像我的例子。很高兴看到它如何实现相位

。但是他们似乎没有在讨论对更多目标qubits的推广？

α

$\alpha$

— M. Stern，

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从某种意义上说，这个问题可能不是很明确，因为要寻求一种通过分解来计算的方法，您需要指定愿意使用的一组门。确实，这是一个已知的结果，可以使用和单量子位运算来精确地分解任何量子位门，因此对这个问题的天真的答案是：只需使用单量子位和分解。 $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

的问题的一个不同的解释如下：给定，可以予计算使用一组单量子位操作，并小号不是在控制量子位，并且 s的控制是该第一量子位？可以通过概括Nielsen＆Chuang的第四章中得出的结果来完成此操作。 $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

令为单量子位门。然后，它可以证明总是可以被写为，其中是泡利X栅极，和和是单量子位操作，使得（请参见N＆C以获取证明）。由此可见 $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ 其中是一个相位栅极施加到该第一量子位，和是应用于第二个量子位一旦意识到，如果第一个量子位是，则立即开始，然后

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ 成为一个身份，在第二个qubit上，您将获得

操作，该操作给出了身份。另一方面，如果第一个量子位是

，然后在第二导轨你有

，这（与相一起）等于

通过定义。

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

$C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ 如答案的第一部分所示分解。

$n$ $U$ $\text{CNOT}$

— 玻璃
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U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

5

尽管这可能无法完全回答您的问题，但我认为这可能会提供一些思考的方向。这里有两个重要事实：

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 用于量子计算的基本门-A。Barenco（牛津），CH Bennett（IBM），R.Cleve（卡尔加里），DP DiVincenzo（IBM），N.Margolus（MIT），P.Shor（AT＆T），T.Sleator（NYU），J.Smolin（UCLA）），H.Weinfurter（因斯布鲁克）

2 控制单一门的最佳实现-Guang Song，Andreas Klappenecker（德克萨斯农工大学）

— Sanchayan Dutta
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