是什么使量子计算机如此擅长计算主要因子？

关于量子计算机的普遍主张之一是其“突破”传统密码技术的能力。这是因为常规密码术基于素数，这对于常规计算机而言在计算上是昂贵的，但是对于量子计算机来说这是微不足道的问题。

量子计算机的哪些属性使其能够胜任常规计算机出现故障的任务，并且量子位如何应用于计算素因数的问题？

简短的答案

$\newcommand{\modN}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,N}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$昆腾计算机能够运行算法的子例程比任何已知的经典对数快得多。这并不意味着经典计算机也无法快速完成，我们到目前为止还不知道经典算法能够像量子算法一样高效地运行

长答案

量子计算机擅长离散傅立叶变换。这里有很多事情并不能仅仅被“ 并行 ”或“ 快速 ”所捕获，所以让我们深入探讨一下野兽的鲜血。

该保理的问题是：给定一个数$N = pq$，其中$p,q$是素数，你怎么恢复$p$和$q$？一种方法是注意以下几点：

如果我查看数字$\modN{x}$，则$x$与N共享一个公因数$N$，否则就不一样。

如果共享一个公因子，并且本身不是的倍数，那么我们可以轻松地询问和的公因子是什么（通过欧几里德算法获得最大的公因数）。N x $x$$N$$x$$N$

现在不那么明显的事实：所有带不共享一个共同的因素形成乘法群。这意味着什么？您可以在Wikipedia中查看组的定义。让组运算相乘以填充细节，但是我们真正关心的是该理论的以下结果：序列N mod $x$$N$$\on{mod} N$

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

是周期性的，当不共享公因子（尝试，）时，将其第一手看成是：x = 2 N = $x,N$$x = 2$$N = 5$

$$\newcommand{\mod}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,5} \mod1 = 1,\quad \mod4 = 4,\quad \mod8 = 3,\quad \mod{16} = 1.$$

现在有多少自然数小于不会与共享任何公因子？这是由Euler的totient函数回答的，即。N N （p − 1 ）（q − 1 $x$$N$$N$$(p-1)(q-1)$

最后，利用群体理论的主题，重复链的长度

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

将那个数字除。因此，如果您知道的幂序列的周期，则可以开始对是什么进行猜测。而且，如果您知道是什么，是什么（那是N，请不要忘记！），那么您就有2个方程组和2个未知数，可以通过基本代数求解以分离。x $(p-1)(q-1)$（p − 1 ）（q − 1 ）（p − 1 ）（q − 1 ）p q p ，$x \mod N$$(p-1)(q-1)$$(p-1)(q-1)$$pq$$p,q$

量子计算机从何而来？期间发现。有一个称为傅立叶变换的操作，该函数将函数编写为周期函数的总和，其中是数字，是周期为周期函数，并将其映射到新函数使得。a 1 e 1 + a 2 e 2。。。一个我ë 我p 我˚F ˚F（p 我）= 一个$g$$a_1 e_1 + a_2 e_2 ...$$a_i$$e_i$$p_i$$\hat{f}$$\hat{f}(p_i) = a_i$

计算傅立叶变换，通常引入作为一个整体，但是当你只想把它应用到数据的阵列（在我^个数组的元素是），您可以使用此工具称为离散傅立叶变换，其数量将您的“数组”当作一个向量乘以一个很大的unit矩阵。$f(I)$

强调unit一词：这里描述的是一个非常随意的属性。但是关键要点如下：

在物理学世界中，所有运算符都遵循相同的通用数学原理：统一性。

因此，这意味着将DFT矩阵操作复制为量子算符并非没有道理。

现在到了深处， Qubit数组可以表示可能的数组元素（可在网上的任何地方进行解释或发表评论）。$n$$2^n$

同样，一个 Qubit量子算子可以作用于整个量子空间，并产生一个我们可以解释的答案。$n$$2^n$

有关更多详细信息，请参见此Wikipedia文章。

如果我们可以仅使用 Qubit 来对指数级大的数据集进行傅立叶变换，则可以很快找到周期。$n$

如果我们可以很快找到周期，则可以快速汇总的估计值$(p-1)(q-1)$

如果我们可以快速完成操作，那么根据我们对了解，我们可以进行检查。$N=pq$$p,q$

这就是高水平的事情。

使量子计算机善于分解大量数据的原因是它们能够解决寻期问题（以及将主要因素与寻期相关的数学事实）的能力。简而言之，这基本上就是Shor的算法。但这仅是一个问题，是什么使量子计算机擅长于周期发现。

周期查找的核心是能够在整个函数范围内（即针对每个可能的输入）计算函数的值。这称为量子并行性。这本身还不够好，但是与干扰（以某种方式组合来自量子并行性的结果的能力）结合在一起就可以了。

我想这个答案可能有点悬念：一个人如何利用这些能力来实际分解？在Shor的算法上，在Wikipedia上找到答案。

首先，可以通过Shor算法在量子计算机上进行分解（使用“单一”量子门）。

Scott Aaronson撰写的这篇博客文章标题为“ Shor，我会做到的”，它不需要高级数学也不具备任何物理高级知识的解释。

他的想法的简要概述如下：

$\mathbb{R}^2$

$\rho$

因此，我们奇怪的量子时钟可以帮助我们有效地进行分解！