明确的利勃罗宾逊速度界限

Lieb-Robinson边界描述了由于局部哈密顿量，效应如何在系统中传播。它们通常以其中和是在哈密顿量所在的晶格上以距离隔开的算子在该点阵上具有局部（例如，最近的邻居）交互，并受某些强度。Lieb Robinson界的证明通常表明存在速度（取决于）。这对于限制这些系统中的属性通常非常有用。例如，有一些非常好的成果在这里

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$

J

$J$ 关于使用最近邻哈密顿量生成GHZ状态需要多长时间。

我有过的问题是，证据充分通用的，这是很难得到什么速度实际上是一个紧密的值是对于任何给定的系统。

具体来说，想象一个由哈密顿量耦合的一维量子比特链，其中代表所有。在这里，和表示一个Pauli运算符，该运算符被应用于给定的qubit，而在其他各处。您能为方程式中的系统的Lieb-Robinson速度给出一个良好（即尽可能紧密）的上限。（1）？

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$

n

$n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

Z_{n}

$Z_n$

n

$n$

I

$\mathbb{I}$ $v$

可以在两个不同的假设下提出此问题：

该和都在固定时间 $J_n$ $B_n$
该和被允许在时间变化。 $J_n$ $B_n$

前者是一个更强的假设，可能使证明更容易，而后者通常包含在利勃罗宾逊范围的陈述中。

动机

量子计算，更广泛的说是量子信息，可以归结为有趣的量子态。通过作品如这个，我们可以看到这些信息需要一定的时间量，以传播从一个地方到另外一个量子系统发生演变由于哈密顿如公式。（1），并且诸如GHZ状态或具有拓扑顺序的状态之类的量子状态需要一定的时间才能产生。当前结果显示的是比例关系，例如所需时间为。 $\Omega(N)$

所以，比方说，我想出了一种方案，该方案以线性缩放的方式进行信息传递或生成GHZ状态等。该计划实际上有多好？如果我有一个明确的速度，我可以看到与下限相比，我的方案中缩放系数的匹配程度如何。 $N$

如果我有一天想看到的是在实验室中实现的协议，那么我非常在意优化这些缩放系数，而不仅仅是广泛的缩放功能，因为我可以更快地实现协议，因此机会更少是为了让噪音散发出来并使一切混乱。

更多信息

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ 此汉密尔顿算子有一些不错的功能，我认为这些功能使计算更容易。特别是，哈密顿量具有一个基于标准基础上1的个数的子空间结构（据说是激发保持的），更好的是，乔丹-维格纳变换表明可以导出更高激发子空间的所有性质。来自1-excitation子空间。 $N\times N$ $h$ $2^N\times 2^N$ $H$ ，其中有证据表明Lieb-Robinson速度为，例如在此处和此处，但是这些都使用了接近均匀耦合的链，链的群速度为（我假设群速度与链的速度紧密相关Lieb-Robinson速度）。并不能证明所有可能的耦合强度选择都具有如此有限的速度。

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$

v = 2 J

$v=2J$

2 J

$2J$

我可以进一步增加动机。考虑从链的一端开始的单个激励的时间演化，以及在短的时间之后到达链的另一端振幅。对于一阶，这是您可以看到期望在Lieb-Robinson系统定义的“光锥”之外的指数功能，但是更重要的是，如果您想最大化该振幅，则可以设置所有 $\ket{1}$ $\ket{N}$ $\delta t$ $\delta t$

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$

J_{n} = J

$J_n=J$ 。因此，在短时间内，均匀耦合的系统将导致最快速的传输。尝试进一步推动这一点，您可能会稍作犹豫，询问何时取大的极限，并在阶乘上使用Stirling公式，得出这表明最大速度约为。接近，但不严格（因为高阶术语不可忽略）！

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$

N

$N$

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$

e J

$eJ$

simulation performance many-body-systems

— 达夫·沃利
source

您是否已从该模型的证明中计算出最佳的LR约束？它与您引用的速度相比如何？

— Norbert Schuch

好的，我承认这是一个量子计算问题，至少是我现在的解释方式：“和的选择是什么（受某些约束），它产生信息/状态/ ...传递的最大速度。 ” ---这是正确的解释吗？

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch不完全是。我想说的是：“我提出了一组可以以一定比例实现协议的耦合。众所周知，该协议受Lieb-Robinson边界约束。我离该约束有多近？” 衡量我的协议有多快。

— DaftWullie

@DaftWullie所以-您是在问：“我离理想状态有多近”，或者“我离某种约束有多近（采取最紧密的约束）”？

— Norbert Schuch

@ user1271772是正确的。

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

让我首先回答一个普遍的问题，当您面对一个通用的局部交互晶格模型时，如何获得合理的李布罗宾逊（LR）速度，然后再回到您的问题中的一维XY模型，这非常特别是完全可解决的。

通用方法

Ref1 = arXiv：1908.03997中介绍了用于获取迄今为止最紧密的绑定的方法（对于通用的短程交互模型）。基本思想是不等时换向器的范数任意局部算子之间的距离可以由存在于模型的可交换性图上的一组一阶线性微分方程的解来上限。可以从汉密尔顿模型中轻松得出Ref1的II A节中介绍的可交换性图，该图可反映表示的不同局部算符之间的交换关系。 $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ $\hat{H}$ $\hat{H}$ 。在平移不变系统中，这组微分方程的可以容易地通过傅里叶解决变换和上结合的LR速度可以从最大本征频率的计算使用Ref1的等式（31）。在下文中，我将将此方法应用于一维XY模型作为教学示例。为简单起见，我将关注时间无关和平移不变的情况，（结果边界不取决于 $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ $B_n,J_n$ ）。对于平移非不变，与时间有关的情况，您可以通过数值方式求解微分方程（对于成千上万个站点的系统而言，这是一项轻松的计算任务），或者可以使用整体上限并继续使用下面的方法（但是与数值方法相比，这会稍微降低密封性）。 $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

首先，我们画出可交换图，如下所示。哈密顿量〜（，，）中的每个算子都由一个顶点表示，并且当且仅当相应的算子不上下班时，我们才会链接两个顶点（或在当前情况下为防通勤）。 $X_{n}X_{n+1}$ $Y_nY_{n+1}$ $Z_n$
然后写下Ref1的微分方程式（10）：
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
通过傅里叶变换上述等式，我们有本征频率是。LR速度由Ref1的等式（31）给出：其中
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

注意：当，此界限发散，而物理信息的传播速度保持有限。通过使用Sec中的方法，我们可以解决此问题。Ref1的 VI 。结果为，其中被定义为方程。 $B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

一些经典模型的速度边界

上面的方法是完全通用的。如果您对更多内容感兴趣，我在下表中列出了一些经典模型的速度范围，它们以类似的方式获得。请注意，LR速度由列出的所有表达式中的最小者限制（因此，在不同的参数区域中，应使用不同的表达式）。函数定义为的最大根所有参数均假定为正（对于负数，仅取绝对值）。 $v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

至于这些界限有多好，我通常没有研究，但对于临界点的一维TFIM ，精确解给出，而上述界限给出。类似地，在FH 的点和Heisenberg XYZ 的点处，上述界限都比精确解大。[实际上，在这些特殊点上，后两个等效于TFIM的解耦链，可以直接从它们的可交换性图中判断出来。] $J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

通过映射到自由费米子，使一维XY的边界更紧

现在让我们更多地讨论一维XY模型。如您通过映射到自由费米子可以完全解决：对于一般的您需要用数值方法解决自由费米子问题，但让我提到两个在解析上易于处理的特殊情况。

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ 是固定的并且平移不变。那么确切的解决方案是，其中是阶的Bessel函数。。因此LR速度为。
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ 在时间上是固定的，但完全是随机的（猝灭障碍）。然后由于多体定位（或费米子图中的安德森定位），信息不会在该系统中传播，因此。更严格地，在arXiv：quant-ph / 0703209中，对于无序情况证明了以下界：具有减速的对数光锥。 $v_{\text{LR}}=0$
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— Lagrenge
source

我是否应该根据您所说的推断，对于每个带有模型（包括没有平移不变性的模型），速度为？

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

— DaftWullie

@DaftWullie不，您只能在通用方法中为参数使用整体上限，因为通用方法始终会给出严格限制任何系数的绝对值的范围。边界是从自由费米子精确解中获得的，在该解中，您不能使用参数的整体上限，而必须逐个求解。如果是平移不变的，那么你可以设置中，因为一般方法与长期通勤并获得。

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

— Lagrenge

@DaftWullie亲爱的DaftWullie，如果您认为我的答案中仍然缺少任何内容，或者仍然不清楚，请告诉我。

— 凌晨

答案似乎很有用。我还没来得及看你的论文（可能要几个星期）。假设我一切都OK，那么我将接受您的回答。

— DaftWullie