Bloch球面的替代表示一个量子比特

为了表示单个量子位$|\psi\rangle$我们使用一个单一矢量在$\mathbb{C}^2$ Hilbert空间，其标准正交基（所述之一）是$(|0\rangle, |1\rangle)$。

我们可以得出$|\psi\rangle$使用布洛赫球。但是，由于正交向量在空间上是反平行的，所以我发现这种表示法非常令人困惑（此Physics Stackexchange问​​题的简要说明）。

您知道单个qubit有其他不同的图形表示吗？

在您的问题中包含的链接中，有关user098876撰写的另一个问题“了解Bloch球体”，Daniel提出了有用的评论：

“在球面上绘制点来表示量子两级系统的状态并不意味着您应将这些点视为3D空间中的真实矢量。– DanielSank 15年9月3日在20:17”。

过于简化的解释：这是一个投影在球体上的两侧平面（或两个平面）。

“我发现这种表示法非常令人困惑，因为正交向量在空间上是反平行的（在此Physical Stackexchange问​​题中进行了简要说明）。您知道单个量子位的任何不同图形表示吗？”

目前正在进行许多工作以提供从量子位到量子位的更一般的表示。使用Majorana球体进行的解释和表示并没有什么不同，它仍然是一个球体，但也许不那么令人困惑：

有关Majorana球面上的量子比特，请参见：“ N量子比特状态为Bloch球面上的点 ”。

“摘要。我们展示了Majorana表示法如何用于表达N量子位系统的纯态...总之，当研究spin- 粒子时，Majorana表示法很有用，而当旋转自旋S粒子研究时，择一的表示法更可取。讨论了N-量子位系统的状态，除了有助于可视化N-量子位状态及其在旋转和其他运算中的转换方式外，后者的表示还可以帮助识别某些特殊的N-量子位状态，例如Majorana表示在旋量玻色-爱因斯坦凝聚物的背景。”。$S$$N$$N$$N$

请参阅：“ Majorana表示，qutrit Hilbert空间和qutrit门的NMR实现 ”：

第1页：

“布洛赫（Bloch）球体提供了一个单量子位在（一个单位球体，在三个实维上）的量子态的表示，其中纯态映射到表面，混合态位于内部。这种几何表示形式对提供量子态及其转换的可视化，特别是在基于NMR的量子计算的情况下，其中自旋1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$在Bloch球上可以看到 2磁化及其通过NMR rf脉冲的转换。对于高级量子系统的几何表示，已经有一些建议，但是，将布洛赫球状图片扩展到更高的自旋并不容易。Majorana提出了一种几何表示形式，其中，自旋''的纯态由单位球体（称为Majorana球体）表面上的'2s'点表示。$s$$_s$

对于的马约喇纳表示系统已得到广泛应用，如确定自旋的几何相位，表示Ñ通过旋量Ñ点，多量子位的几何表示纠缠态，混沌量子动力系统的统计和表征偏振光。在基于qudit的（d级量子系统）量子计算方案中，单个qutrit（三级量子系统）特别重要。qutrit是显示出固有量子特征（例如上下文）的最小系统，该系统被认为是量子计算的资源。可以使用自旋s> 1的核进行NMR量子量子计算$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$或可以通过两个或多个耦合的spin-1建模$\frac{1}{2}$核。在这项工作中，我们使用单个Qutrit的Majorana球面描述（其中Qutrit的状态由单位球面上的一对点表示）来提供对Qutrit状态空间的见解。

第5页：

磁化矢量的大小→ M | 在一个单一的qutrit的纯集合可以在范围假设值[ 0 ，1 ]。相反，量子位的纯整体总是具有与其相关的磁化矢量的单位大小$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$。单一qutrit磁化矢量的几何图片由Majorana表示提供。价值→ M | 取决于等分线O O '的长度，并沿$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$轴且旋转不变。因此，对应于等分线长度的给定值，可以假设半径连续变化的同心球，其表面是恒定磁化的表面。这些球体的半径等于→ M | 的是，在该范围内变化[ 0 ，1 ]。$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

第10页：

结束语

在这项工作中描述了Qutrit的几何图形表示，其中Qutrit状态根据Majorana表示由单位球面上的两个点表示。通过单参数态的参数化，可以通过变换的作用从规范化状态的单参数族生成任意状态。自旋1的磁化矢量表示在马约拉纳球上，根据自旋磁化的零值或非零值，将状态标识为“指向”或“非指向”。由S U （3 ）作用产生的转换$SO(3)$$1$$SU(3)$发电机也被整合到了马约拉纳的几何图中。与量子位不同，单量子级量子门在射频脉冲方面的分解并不简单，而马约拉纳球体表示法提供了一种以几何方式描述这些门的方法。对在各种量子门的作用下代表马约拉纳球上的qutrit的点的动力学的近距离观察用于获得rf脉冲分解，并使用NMR实验性地实现了基本的单Quutt门。

图。1.马约拉纳球体上的Qutrit用两个点和P 2表示，它们分别用红色和蓝色所示的线与球体的中心相连。θ 1，φ $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$是对应于点的极角和方位角（θ 2，φ 2是用于点角度P 2）。的马约喇纳多项式（a）的罗茨示于平面Ž = 0由点P ' 1和P ' $P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$，其立体投影产生了Majorana的代表性。显示了三个示例，分别对应于单qutrit基向量的majorana表示，（C ^ $(b)\;\vert+1\rangle$和（d $(c)\;\vert0\rangle$。其中一个点显示为实心（红色）圆圈，而另一个点则显示为空（蓝色）圆圈。$(d)\;\vert-1\rangle$

参见：Wheeler（网站）的“ 高自旋态的马约拉纳表示 ”（.PDF ）或“ 多自旋量子态的Wigner层析成像 ”：

使用断层摄影术看起来像什么-“在本文中，我们从理论上为任意多旋多量子态的球形函数开发了一种断层扫描方案。我们研究了实验方案来重建给定密度算子的广义Wigner表示（表示混合或纯量子态）。”

将其与如下所示的Bloch球的复杂性进行比较：“ 三顶点几何相位的Bloch-球表示 ”。形状是相同的，这就是您可视化使用的投影的所有方式。

这是一个不太忙的图像：

想像一下布洛赫球体被一张大纸切成两半的样子。在纸的边缘（无穷大），纸顶部的任何点都向球的顶部（无穷大）（纸的底面的球的底部）画一条线（无穷大）。最接近图纸中心（混合状态）的点将线绘制到球体的中心。那代表了一个小球上无穷远的距离，一个量子位/ qudit是有限的，所以纸张不会太大。

现在在2D纸上绘制点，在纸上绘制到球的线，取出纸，然后查看或穿过透明球以查看该线的另一个端点。

上面的链接中提供了更加准确和困难的解释。

除了在回答中传达的@pyramids之外：

量子位的状态通常写为，其中$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$，和 | α | 2 + | β | 2 = 1。$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

是实数字段上的一个四维矢量空间。由于任何 Ñ维实向量空间是同构的 ř Ñ（[R ），可以表示任何量子位的状态如在点4维实空间，同样，其基本向量可以考虑为，0），（0，0，0，1）。在这种情况下的一个量子位的状态将被表示为一个（1，0，0$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$。

比方说，（其中一个，b ∈ [R ）和β = c ^ + 我d（其中Ç ，d ∈ [R ）。您需要条件| a + i b | 2 + | c + i d | 2 = $\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$要满足，这意味着量子位的状态将是3球面上的一个点。$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

如您所知，很难在纸张或屏幕等2维表面上有效地表示维空间。因此，您不会看到这种表示形式经常使用。Bloch球几乎是最有效的表示形式（对于单个qubit），因为由于qubit的状态，它降低了一个自由度（复数α ，β分别具有两个自由度）通常以标准化的幅度1，即| α | 2 + | β | 2 = $4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$。

现在，使用Hopf坐标 说：

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

在这里，可以从0到π，而ψ和 ϕ + ψ可以取0到π的值。$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$$\theta$

$\psi,\phi,\theta$

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ $\alpha$$e^{i\psi}$

因此，我们最终得到：

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$ 至 $2\pi$。

通过这种实际的简化，您可以使用 $2$ 自由度 $3$单位半径的三维球形表面，可以再次有效地将其绘制在 $2$维表面，如下图所示。

从数学上讲，不可能进一步降低自由度，因此，我想说，除了布洛赫（Bloch）球面之外，没有其他“更有效”的单个量子位的几何表示。

_{资料来源：Wikipedia：Bloch_Sphere}

布洛赫（Bloch）球体从历史上开始描述了自旋，其中向上和向下实际上可以看作是（反）平行而不是（数学上）正交。

You can naturally (and perhaps more naturally!) depict a qubit's state in a way that orthogonal states are indeed orthogonal. Then a pure 1-qubit state occupies a point on the surface of a 4-dimensional sphere.

(Firstly, the "reputation points" requirement is stupid - this remark should be a comment on the previous post.)

A single qubit in a pure state has 2 real degrees of freedom, not 3, when you quotient out both magnitude and phase (i.e., complex normalization). So, most reasonable two-dimensional surfaces could be used (e.g., the 2-sphere or anything topologically equivalent).

Finding a useful representation is another story. The Bloch sphere has a natural extension to mixed states (which have 3 degrees of freedom), whereas this does not appear to be the case otherwise..