为什么绝热量子计算中的初始哈密顿量与最终哈密顿量不相干至关重要？

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我读过的许多资源和书籍绝热量子计算（AQC），这是至关重要的初始哈密顿 不与上班最终哈密顿，即。但是我从来没有见过关于为什么如此重要的争论。 $\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$ $\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

如果我们假设一个线性时间依赖性的AQC的哈密顿是

\hat{H} (t) = (1 - \frac{t}{τ}) {\hat{H}}_{i} + \frac{t}{τ} {\hat{H}}_{f}, (0 \leq t \leq τ)

$\hat{H}\left(t\right)~=~\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\hat{H}_i+\frac{t}{\tau}\hat{H}_f, \qquad \left(0\leq t\leq \tau \right)$ 其中

τ

$\tau$ 是绝热的时间尺度。

所以我的问题是：为什么最初的哈密顿量和最后的哈密顿量不重要？

annealing adiabatic-model

— 涡轮坦
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在绝热QC中，您将问题编码为哈密顿量，以便可以从基态中提取结果。准备该基态很难直接进行，因此您要准备一个“简单”哈密顿量的基态，然后在两者之间缓慢地插值。如果运行速度足够慢，系统状态将保持为基态。在过程的最后，您将获得解决方案。

这根据绝热定理起作用。为了保持该定理，在基态和第一激发态之间必须存在能隙。间隙变得越小，插值速度就越慢，以防止基态和第一激发态之间发生混合。如果间隙缩小，则无法防止这种混合，并且您走得不够慢。此时该过程失败。

如果初始和最终哈密顿通勤，则意味着它们具有相同的能量本征态。因此，他们同意分配给哪个状态的能量，而只不同意获得的能量。在两个哈密顿量之间进行插值只会改变能量。因此，最终的基态在开始时将是激发态，而原始的基态在结束时将变得激发。在某些时候，当彼此通过时，这些状态的能量将相等，因此它们之间的间隙会缩小。这足以确保能隙必须在某个点关闭。

因此，保持通勤的哈密顿量是保持差距开放的必要条件，因此对于AQC也是必须的。

— 詹姆斯·沃顿
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这听起来很令人信服和清晰。您能否明确解释为什么绝热演化过程中无法避免交叉（这将允许基态的性质发生变化，但不会退化）？

— agaitaarino

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如果两个矩阵（在这种情况下为哈密顿量）通勤，则它们具有相同的特征向量。因此，如果您准备了第一个哈密顿量的基态，那么（在粗略地说）它将在整个绝热演化过程中保持本征态，这样您就可以得到所输入的内容。它没有任何价值。

如果您想更严格一点，则可能是您最初的哈密顿量具有第二代哈密顿量引起的简并性，并且您可能希望使系统演化为唯一的基态。但是请注意，当第二个哈密顿量不为零时，简并性就会升高。它可以产生的任何效果都是瞬间的。我相信您不会得到适当的绝热演变。取而代之的是，您必须将初始状态写为新的本征态的叠加，并且这些本征态会随着时间的流逝而发展，但您绝不能增加状态与目标状态（基态）的重叠。

— 达夫·沃利
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只是想知道您的第一个陈述是否正确。以身份矩阵为例，它会将每个哈密顿量交换。但是，肯定没有必要使恒等矩阵具有与任意哈密顿量相同的特征向量。

— Turbotanten

您可以在任何基础上分解身份，包括哈密顿量的基础。但是关键是它高度退化，所以您在谈论我的第二段。

— DaftWullie '18

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在具有初始哈密顿伊辛优化的上下文，与该问题哈米尔顿算手段它本质上是产品的通勤运营商，这意味着它的本征态是古典位串。因此，开始时（ = 0）的基态也将是经典的，而不是所有可能的位串的叠加。 $\sigma^Z$ $t$

此外，即使超越了AQC的严格界限（例如，开放系统量子退火，QAOA等），如果驱动的哈密顿量进行换向，它也不会引起问题哈密顿量的本征态之间的跃迁，而只会改变波函数中振幅的相位; 并且您需要一个能够引起自旋翻转以探索搜索空间的驱动程序。

— 戴维·范德利
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让我们从一个简单的例子开始，因为和都是对角线，所以它们通勤： $H_i$ $H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

最低特征值（即基态）的特征向量为所以我们在此状态下启动。的基态为所以这就是我们要寻找的。 $H_i$ $|1\rangle$ $H_f$ $|0\rangle$

记住最低运行时的AQC到误差范围内给出正确答案： $\epsilon$
。 $\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

这在等式中给出并解释。2 Tanburn 等人。（2015）。

假设我们要。 $\epsilon = 0.1$
注意根据等式同一张纸的4张。 $||H_i - H_f||^2 = 0.1$
注意（我选择是为了发生这种情况，但这并不重要）。 $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$ $\epsilon$
我们现在有 $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

那么，基态和第一激发态之间的最小间隙是多少（给出）？当，哈密顿是： $\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

所以什么时候，我们有和约束下上 $t=\frac{20}{29}\tau$ $E_{\rm{gap}}=0$ $\tau$ $\infty$

因此，绝热定理仍然适用，但是当哈密顿量需要“足够缓慢地”改变时，事实证明它需要“无限地缓慢地”改变，这意味着您不可能使用AQC来获得答案。

— 用户名
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τ ≫ \frac{max_{0 \leq s \leq 1} | ⟨ ψ_{1} (s) | \frac{d \hat{H} (s)}{d s} | ψ_{0} (s) ⟩ |}{min_{0 \leq s \leq 1} Δ^{2} (s)}; s \equiv \frac{t}{τ}

$\tau \gg \frac{\underset{0\leq s \leq 1}{\text{max}} \left|\langle\psi_1(s)| \dfrac{d \hat{\mathscr{H}}(s)} {d s}|\psi_0(s)\rangle\right|} {\underset{0\leq s \leq 1}{\text{min}}\Delta^2(s)}; \qquad s\equiv\frac{t}{\tau}$

Δ^{2} (s) = (E_{1} (s) - E_{0} (s))^{2}

$\Delta^2(s) = (E_1(s)-E_0(s))^2$ . See Ref [1] & [2]

— Turbotanten

@Turbotanten：感谢您的悬赏。无论使用1 / gap ^ 2还是1 / gap ^ 3，我的证明都是有效的。在这两种情况下，gap = 0表示运行时间=无限。在您的表达式中，我们可以只在外部有“ max_s”，然后在分母中就不需要“ min_s”。另外，我链接到的Tanburn论文的参考文献2给出了gap ^ 3公式，该公式的约束度比gap ^ 2公式稍紧。使用gap ^ 2（界限稍宽松）仍然很流行，主要是因为有些人还没有看到关于gap ^ 3的最新文献。

— user1271772