对应给定unit的最短通用量子门序列

问题：给定a矩阵作用于 $n$ 量子位，我们可以找到对应于该ary的最短Clifford + T门序列吗？

关于该问题的背景，有两个重要的参考文献：

1. 由克利夫 尼科夫，马斯洛夫和莫斯卡的克利福德和T门生成的单个量子位unit元的快速有效合成
2. Giles和Selinger 精确合成了多量子位Clifford + T电路。

获得最佳分解绝对是一个未解决的问题。（而且，分解当然是棘手的，$\exp(n)$ 大型大门 $n$。）您可能首先要问的一个“更简单”的问题是，任何角度的结点和单个qubit旋转的最短序列是什么（（IBM，Rigetti和Google很快提供了什么），门的这种通用基础可以表示为您的Cliffords和T型门的基础）。这个“较简单”的问题也是未解决的，并且答案不唯一。一个相关的问题是，从通用状态到从基态到给定的最终状态，门的精确最佳分解是什么。

我假设您是指精确分解。如果要进行近似分解，则可以使用不同的方法，例如Trotter-Suzuki分解或近似精确分解。

Qubiter中的“量子csd编译器”使用来自LAPACK的著名的csd（余弦-正弦分解）子例程，将任何n个量子比特unit分解为cnots和单个qubit rots进行非优化分解。一些进取心的人可以尝试为Qubiter的量子编译器找到优化。例如，您可以使用Qubiter的编译器（我为此写过一篇论文），让您的经典计算机重新发现Coppersmith的量子傅立叶变换分解！

Qubiter是开源的，可以在github上找到（完整披露-我写了它）。

假设您提供的unit的精确合成是可能的（条目上的理论限制数），因此问题中描述的算法为您提供了实现该unit的一系列Clifford + T门。正如Giles-Selinger论文所述，您得到的序列与最优序列相差甚远。因此，在这一点上，您已经减少了由Clifford + T门集合生成的组中的单词问题。一些小组具有缩短给定单词的算法，同时仍将小组中的相同元素表示为该类别中最短的普通形式。其他人没有。

更多细节说明原理：让我们说有 $2$量子比特。表示$S_1$ 对于在qubit上执行相位门的发生器等 $1$， $CNOT_{12}$ 对于 $1$是控件等。这些元素中的每一个均视为字母。该算法将在这些生成器中吐出一些单词。该组是具有这些生成器和许多关系的组，例如$S_i^4=1$ 和 $X_i Y_j = Y_j X_i$ 什么时候 $i \neq j$在许多其他关系中。因此，这定义了一些有限生成的组。因为我们从提供的算法中得到了一个单词，但尚未进行优化，所以任务是为该组单词提供最方便的最短正态形式。所以如果给这个词$S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$ 一个人可以利用这种关系 $S_1 S_2 = S_2 S_1$ 两次和 $S_1^4=1$ 关系一旦得到 $S_2$作为表示同一组元素的较短单词。对于给定的小组演示，我们希望一种算法，该算法采用任意单词并将其减少。通常，这是不可能的。

以下免责声明：即将与Jon Aytac合作的项目/ Haskell实现联合。

我不知道Clifford + T门装置的单词问题的可解性，但仅靠对内即可使事情简单一些（称它们为 $r_i$），并且只有该形式的关系 $(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$。这是一个与Clifford + T门装置有关的Coxeter小组，但是有一个可有效解决的单词问题。因此，人们可能会采用Giles-Selinger算法的结果，并可能仅使用这些非常简单的关系（在仅查看具有内卷字母的部分之后）将其缩短。实际上，任何采用给定的and并将其近似或精确合成为Clifford + T的算法都可以输入此过程中，从而有可能将其略微缩短。