琼斯多项式

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有许多相当标准的量子算法，可以在非常相似的框架中理解它们，例如Deutsch算法Simon问题，Grover搜索算法，Shor算法等等。

一种似乎完全不同的算法是评估琼斯多项式的算法。而且，从某种意义上来说，这是一个至关重要的算法，要理解它是一个BQP完全问题：它展现了量子计算机的全部功能。同样，对于问题的一个变体，它是DQC-1完整的，即，它表现出一个干净qubit的全部功能。

在琼斯多项式算法提出在一个非常不同的方式向其他量子算法的算法。有没有更类似/熟悉的方式可以理解算法（特别是DQC-1变体中的the 或BQP-complete变体中的整个电路）？ $U$

algorithm circuit-construction bqp

— 达夫·沃利
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这个答案或多或少是您链接到的Aharonov-Jones-Landau论文的摘要，但是删除了与定义算法没有直接关系的所有内容。希望这是有用的。

阿哈罗诺夫-琼斯-朗道算法近似编织物的开发平台闭合的琼斯多项式在通过实现它作为（的某些重新缩放）一定酉矩阵的矩阵元素的统一次方根，图像在编织组的某个统一表示下。给定的实施方案作为量子电路，其近似矩阵元素是直接使用哈达玛测试。非平凡部分近似作为量子电路。 $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

如果是编织物上链与道口，我们可以写出，其中， $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ ，和是发电机对应于交叉的在第链 ST。它足以描述，由于。 $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

要定义，首先给出的标准基础的某些子集其上作用非平凡。对于，让。叫 $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ 受理如果为所有。（这对应于描述长度的路径图表上在AJL纸定义。）让 $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$ 让（这是错误地输入在AJL纸;还注意到，这里只有这里，

λ_{[R} = {\begin{cases} 罪 （ π [R / ķ ） & 如果 1个 \leq [R \leq ķ - 1个 ， \\ 0 & 除此以外。 \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

不是索引

）。写

，其中

是第一

的位

，并让

。然后

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

我们定义

用于非可允许的基础元件

。

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

我们现在将像来描述与多项式许多量子电路（和）门。注意，虽然仅改变两个量子比特，它也依赖于第一量子位通过对依赖（实际上，这取决于所有的量子位对可受理要求）。但是，我们可以运行一个计数器以对数形式（以）的辅助量子位来计算和存储（并确定输入的可允许性），因此可以应用Solovay-Kitaev算法 $U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ 以获得良好的逼近只用多项式多门。（本文呼吁Solovay-Kitaev两次：一次在每个步骤递增计数器，并且一旦施加 ;我不知道是否有任这些描述与标准门量子电路更直接的方式该文件还没有提到需要检查的受理在这里，我不知道这是重要的，但我们肯定至少需要）。 $U_{\sigma_i}$ $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

因此，回顾一下：

开始有编织层与交叉。 $\sigma \in B_{2n}$ $m$
$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
$i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
$U_{\sigma}$
$\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
$\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— 埃文·詹金斯（Evan Jenkins）
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您已经在问题中提到了五篇论文，但是其中一篇尚未提及的是2009年的实验性实施。在这里，您将找到用于评估琼斯多项式的实际电路：

自从2009年以来，人们对Jones多项式和DQC-1的兴趣已有所下降，这可能是您最接近算法的“更熟悉”表示形式的地方。

有关该实验的更多详细信息，请参见Gina Passante的论文。

— 用户名
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1

U_{n}

$U_n$

别客气。是的，这是4页的PRL，详细信息没有我所希望的详尽解释-也许期刊网页上有“补充材料”可以更好地解释U。琼斯多项式和DQC-1在2008-2009年左右很流行，但是从那以后我就再也没有听说过。

— user1271772